知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f(x)=-x^{2}+ax-\ln x(a∈R)$．
$(1)$若函数$f(x)$是单调递减函数，求实数$a$的取值范围；
$(2)$若函数$f(x)$在区间$(0,3)$上既有极大值又有极小值，求实数$a$的取值范围．

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2．
已知函数$f(x)=a\ln x-x^{2}+ \dfrac {1}{2}a(a∈R)$．
$(1)$讨论函数$f(x)$的单调性；
$(2)$若函数$f(x)$在定义域内恒有$f(x)\leqslant 0$，求实数$a$的取值范围．

难度：难

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3．
已知函数$f(x)=a(x^{2}-x)-\ln x(a∈R)$．
$(1)$若$f(x)$在$x=1$处取到极值，求$a$的值；
$(2)$若$f(x)\geqslant 0$在$[1,+∞)$上恒成立，求$a$的取值范围；
$(3)$求证：当$n\geqslant 2$时，$ \dfrac {1}{\ln 2}+ \dfrac {1}{\ln 3}+…+ \dfrac {1}{\ln n} > \dfrac {n-1}{n}$．

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4．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数y=f（x）的单调区间和最小值；
（2）若函数F（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bf%28x%29-a%7D%7Bx%7D$ 在[1，e]上的最小值为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ，求a的值；
（3）若k∈Z，且f（x）+x-k（x-1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

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5．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y= $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx-3%7D$ +10（x-6）²，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．

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6．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）≥x-1；
（Ⅲ）若 $f%28x%29%E2%89%A5ax%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Ba%7D%28a%E2%89%A00%29$ 在区间（0，+∞）上恒成立，求a的最小值．

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7．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7Blnx%7D$ -ax．
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）已知f′（x）表示f（x）的导数，若∃x₁，x₂∈[e，e²]（e为自然对数的底数），使f（x₁）-f′（x₂）≤a成立，求实数a的取值范围．

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8．已知函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7B%CE%B1%7D%7Bx%7D$ +lnx（α∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间与极值点；
（2）若对∀α∈[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D$ ，2e²]，函数f（x）满足对∀∈[l，e]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围（其中e是自然对数的底数）．

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9．已知函数f（x）=ax³-x²+x+2，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7Belnx%7D%7Bx%7D$ ，若对于∀x₁∈（0，1]，∀x₂∈（0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂），则实数a的取值范围是 ______ ．

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10．已知函数f（x）=e^-x[x²+（1-m）x+1]（e为自然对数的底，m为常数）．
（1）若曲线y=f（x）与x轴相切，求实数m的值；
（2）若存在实数x₁，x₂∈[0，1]使得2f（x₁）＜f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

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