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          共50条信息

            • 1．
              设函数\(f(x)= \dfrac {e^{x}-1}{x}\)，
              \((1)\)求\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程；
              \((2)\)证明：对任意\(a > 0\)，当\(0 < |x| < \ln (1+a)\)时，\(|f(x)-1| < a\)．
              难度：难
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            • 2．
              设函数\(f(x)=x^{2}-x\ln x+2\)，若存在区间\([a,b]⊆[ \dfrac {1}{2},+∞)\)，使\(f(x)\)在\([a,b]\)上的值域为\([k(a+2),k(b+2)]\)，则\(k\)的取值范围为 ______ ．
              难度：难
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            • 3．
              函数\(f(x)= \dfrac {\ln x+2}{x}+a(x-1)-2\)．
              \((1)\)当\(a=0\)时，求函数\(f(x)\)的极值；
              \((2)\)若对任意\(x∈(0,1)∪(1,+∞)\)，不等式\( \dfrac {f(x)}{1-x} < \dfrac {a}{x}\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 4．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {(x+a)\cdot e^{x}}{x+1}(e\)为自然对数的底数\()\)，曲线\(y=f(x)\)在\((1,f(1))\)处的切线与直线\(4x+3ey+1=0\)互相垂直．
              \((\)Ⅰ\()\)求实数\(a\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)若对任意\(x∈( \dfrac {2}{3},+∞)\)，\((x+1)f(x)\geqslant m(2x-1)\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围；
              \((\)Ⅲ\()\)设\(g(x)= \dfrac {(x+1)f(x)}{x( \sqrt {e}+e^{x})}\)，\(T_{n}=1+2[g( \dfrac {1}{n})+g( \dfrac {2}{n})+g( \dfrac {3}{n})+…+g( \dfrac {n-1}{n})](n=2,3…).\)问：是否存在正常数\(M\)，对任意给定的正整数\(n(n\geqslant 2)\)，都有\( \dfrac {1}{T_{3}}+ \dfrac {1}{T_{6}}+ \dfrac {1}{T_{9}}+…+ \dfrac {1}{T_{3n}} < M\)成立？若存在，求\(M\)的最小值；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 5．
              已知函数\(f(x)=ax-\ln x\)．
              \((1)\)过原点\(O\)作函数\(f(x)\)图象的切线，求切点的横坐标；
              \((2)\)对\(∀x∈[1,+∞)\)，不等式\(f(x)\geqslant a(2x-x^{2})\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 6．
              已知函数\(f(x)=e^{x}-ax-1- \dfrac {x^{2}}{2},x∈R\)．
              \((1)\)若\(a=1\)，求函数\(f(x)\)的单调区间；
              \((2)\)若对任意\(x\geqslant 0\)都有\(f(x)\geqslant 0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 7．
              已知函数\(g(x)= \dfrac {x}{\ln x}\)，\(f(x)=g(x)-ax\)．
              \((1)\)求函数\(g(x)\)的单调区间；
              \((2)\)若函数\(f(x)\)在\((1,+∞)\)上是减函数，求实数\(a\)的最小值；
              \((3)\)若存在\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[e,e^{2}]\)，使\(f(x_{1})\leqslant f′(x_{2})+a\)，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 8．
              已知函数\(f(x)=(x- \sqrt {2x-1})e^{-x}(x\geqslant \dfrac {1}{2}).\)
              \((1)\)求\(f(x)\)的导函数；
              \((2)\)求\(f(x)\)在区间\([ \dfrac {1}{2},+∞)\)上的取值范围．
              难度：难
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            • 9．
              已知函数\(f(x)=\ln x+x^{2}-2ax+1(a\)为常数\()\)．
              \((1)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
              \((2)\)若存在\(x_{0}∈(0,1]\)，使得对任意的\(a∈(-2,0]\)，不等式\(2me^{a}(a+1)+f(x_{0}) > a^{2}+2a+4(\)其中\(e\)为自然对数的底数\()\)都成立，求实数\(m\)的取值范围．
              难度：难
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            • 10．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {x}{\ln x}-ax\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若函数\(f(x)\)在\((1,+∞)\)上是减函数，求实数\(a\)的最小值；
              \((\)Ⅱ\()\)已知\(f′(x)\)表示\(f(x)\)的导数，若\(∃x_{1}\)，\(x_{2}∈[e,e^{2}](e\)为自然对数的底数\()\)，使\(f(x_{1})-f′(x_{2})\leqslant a\)成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：难
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