知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{{1}}}{+2}{{a}_{2}}+{{2}^{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}=(n\cdot {{2}^{n}}-{{2}^{n}}+1)\ t\)对任意\(n\in {{N}^{*}}\)成立，其中常数\(t > 0.\)若关于\(n\)的不等式\(\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{4}}}+\dfrac{1}{{{a}_{8}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{{{2}^{n}}}}} > \dfrac{m}{{{a}_{1}}}\)的解集为\(\{n|n\geqslant 4,n\in {{N}^{*}}\}\)，则实数\(m\)的取值范围是．

难度：难

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2．

若等差数列\(\{a_{n}\}\)的公差\(d\neq 0\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(∀n∈N^{*}\)，都有\(S_{n}\leqslant S_{10}\)，则\((\)　　\()\)

A．\(∀n∈N^{*}\)，都有\(a_{n} < a_{n-1}\)

B．\(a_{9}⋅a_{10} > 0\)

C．\(S_{2} > S_{17}\)

D．\(S_{19}\geqslant 0\)

难度：难

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3．
已知数列\(\{a_{n}\}{中},a_{1}= \dfrac {1}{2},{点}(n,2a_{n+1}-a_{n})(n∈N^{*}){在直线}y=x{上}\)，
\((\)Ⅰ\()\)计算\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)令\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}-1\)，求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列；
\((\)Ⅲ\()\)设\(S_{n}\)、\(T_{n}\)分别为数列\(\{a_{n}\}\)、\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，是否存在实数\(λ\)，使得数列\(\{ \dfrac {S_{n}+λT_{n}}{n}\}\)为等差数列？若存在，试求出\(λ\)的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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4．

已知函数\(f(x)= \begin{cases} \overset{(3-a)x-3,x\leqslant 7}{a^{x-6},x > 7}\end{cases}\)，若数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}=f(n)(n∈N^{﹡})\)，且\(\{a_{n}\}\)是递增数列，则实数\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\([ \dfrac {9}{4},3)\)

B．\(( \dfrac {9}{4},3)\)

C．\((2,3)\)

D．\((1,3)\)

难度：难

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5．

已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)是奇函数且满足，\(f( \dfrac {3}{2}-x)=f(x)\)，\(f(-2)=-3\)，数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=-1\)，且\(S_{n}=2a_{n}+n\)，\((\)其中\(S_{n}\)为\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\().\)则\(f(a_{5})+f(a_{6})=(\)　　\()\)

A．\(3\)

B．\(-2\)

C．\(-3\)

D．\(2\)

难度：难

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6．
设数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\(a_{n}=n^{2}+bn\)，若数列\(\{a_{n}\}\)是单调递增数列，则实数\(b\)的取值范围为 ______ ．

难度：难

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7．

已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}= \begin{cases} \overset{(1-3a)n+10a,n\leqslant 6}{a^{n-7},n > 6}\end{cases}(n∈N^{*})\)，若\(\{a_{n}\}\)是递减数列，则实数\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\(( \dfrac {1}{3},1)\)

B．\(( \dfrac {1}{3}, \dfrac {1}{2})\)

C．\(( \dfrac {5}{8},1)\)

D．\(( \dfrac {1}{3}, \dfrac {5}{8})\)

难度：难

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8．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}+1(n∈N^{*})\)，则它的通项公式是 ______ ．

难度：难

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9．

设数列\(\{a_{n}\}\)是集合\(\{3^{s}+3^{t}|0\leqslant s < t\)，且\(s\)，\(t∈Z\}\)中所有的数从小到大排列成的数列，即\(a_{1}=4\)，\(a_{2}=10\)，\(a_{3}=12\)，\(a_{4}=28\)，\(a_{5}=30\)，\(a_{6}=36\)，\(…\)，将数列\(\{a_{n}\}\)中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图等腰直角三角形数表，\(a_{200}\)的值为\((\)　　\()\)