已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式\({{a}_{n}}=-n+t\)，数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的通项公式\({{b}_{n}}={{2}^{n}}\)，设数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)满足\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}{2}+\dfrac{\left| {{a}_{n}}-{{b}_{n}} \right|}{2}\)，且\({{c}_{n}}\geqslant {{c}_{3}}\left( n\in {{N}^{{*}}} \right)\)，则实数\(t\)的取值范围是________________

已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n+1}}=c+\dfrac{1}{{{a}_{n}}}\)，且\(1\leqslant {{a}_{n}}\leqslant 4\)，则\(c\)的取值范围是___\(.\) 

已知数列\(\{a_{n}\}\)是递增数列，且对任意\(n∈N^{*}\)都有\(a_{n}=n^{2}+bn\)成立，则实数\(b\)的取值范围\((\)    \()\)

已知函数\(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}(x > 0)\)，数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=f(x)\)，\({{a}_{n+1}}=f({{a}_{n}})\)

\((\)Ⅰ\()\)求\({{a}_{2}}\)，\({{a}_{3}}\)，\({{a}_{4}}\)；

\((\)Ⅱ\()\)猜想数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项，并予以证明。

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=60\)，\({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=2n(n\in {{\text{N} }^{*}})\)，则\(\dfrac{{{a}_{n}}}{n}\)的最小值为_______．

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)，\({{a}_{n}} > 0\)，其前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)满足\({{S}_{n}}=2{{a}_{n}}-{{2}^{n+1}}\)，其中\(n\in N*\)．

\((\)Ⅰ\()\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}\)，证明：数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是等差数列；

\((\)Ⅱ\()\)设\({{c}_{n}}={{b}_{n}}\cdot {{2}^{-n}}\)，\({{T}_{n}}\)为数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和，求证：\({{T}_{n}} < 3\)；

\((\)Ⅲ\()\)设\({{d}_{n}}={{4}^{n}}+{{(-1)}^{n-1}}\lambda \cdot {{2}^{{{b}_{n}}}}(\lambda \)为非零整数，\(n\in N*)\)，试确定\(\lambda \)的值，使得对任意\(n\in N*\)，都有\({{d}_{n+1}} > {{d}_{n}}\)成立．