知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知数列$\{an\}$的首项${a}_{1}= \dfrac{3}{5},{a}_{n+1}= \dfrac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1},n∈{N}^{*} $．

$(1)$求证：数列$\{ \dfrac{1}{{a}_{n}}-1\} $为等比数列；

$(2)$记${S}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{1}}+ \dfrac{1}{{a}_{2}}+...+ \dfrac{1}{{a}_{n}} $，若$S_{n} < 101$，求最大正整数$n$的值；

$(3)$是否存在互不相等的正整数$m$，$s$，$n$，使$m$，$s$，$n$成等差数列，且$a_{m}-1$，$a_{s}-1$，$a_{n}-1$成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由．

难度：难

解析收藏试题篮
2．
设$\{{{a}_{n}}\}$是首项为${{a}_{1}}$，公差为$d$的等差数列，$\{{{b}_{n}}\}$是首项为${{b}_{1}}$，公比为$q$的等比数列．

$(1)$设${{a}_{1}}=0,{{b}_{1}}=1,q=2$，若$|{{a}_{n}}-{{b}_{n}}|\leqslant {{b}_{1}}$对$n=1,2,3,4$均成立，求$d$的取值范围；

$(2)$若${{a}_{1}}={{b}_{1}} > 0,m\in {{N}^{*}},q\in (1,\sqrt[m]{2}]$，证明：存在$d\in R$，使得$|{{a}_{n}}-{{b}_{n}}|\leqslant {{b}_{1}}$对$n=2,3,\cdots ,m+1$均成立，并求$d$的取值范围$($用${{b}_{1}},m,q$表示$)$．

难度：难

解析收藏试题篮

3．已知数列{a_n}满足 $a_%7Bn%2B1%7D%2Ba_%7Bn%7D%3D%28n%2B1%29%5Ccdot%20cos%20%5Cfrac%20%7Bn%CF%80%7D%7B2%7D%28n%E2%89%A52%EF%BC%8Cn%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ，S_n是数列{a_n}的前n项和，若S₂₀₁₇+m=1010，且a₁•m＞0，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bm%7D$ 的最小值为（　　）

A．2

B． $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

C． $2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

D． $2%2B%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

难度：难

解析收藏试题篮

4．
$7$月份，有一款新服装投入某市场销售$.7$月$1$日该款服装仅销售出$3$件，$7$月$2$日售出$6$件，$7$月$3$日售出$9$件，$7$月$4$日售出$12$件，尔后，每天售出的件数分别递增$3$件直到日销售量达到最大$($只有$1$天$)$后，每天销售的件数开始下降，分别递减$2$件，到$7$月$31$日刚好售出$3$件．
$(1)$问$7$月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？
$(2)$按规律，当该商场销售此服装达到$200$件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于$20$件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由．

难度：难

解析收藏试题篮

5．

已知定义在$R$上的函数$f(x)$是奇函数且满足$f( \dfrac {3}{2}-x)=f(x)$，$f(-2)=-3$，数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=-1$，且$ \dfrac {S_{n}}{n}=2× \dfrac {a_{n}}{n}+1$，$($其中$S_{n}$为$\{a_{n}\}$的前$n$项和$).$则$f(a_{5})+f(a_{6})=($　　$)$

A．$-3$

B．$-2$

C．$3$

D．$2$

难度：难

解析收藏试题篮

6．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$满足：$S_{n}=t(S_{n}-a_{n}+1)(t$为常数，且$t\neq 0$，$t\neq 1)$．
$(1)$求$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$设$b_{n}=a_{n}^{2}+S_{n}a_{n}$，若数列$\{b_{n}\}$为等比数列，求$t$的值；
$(3)$在满足条件$(2)$的情形下，设$c_{n}=4a_{n}+1$，数列$\{c_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，若不等式$ \dfrac {12k}{4+n-T_{n}}\geqslant 2n-7$对任意的$n∈N^{*}$恒成立，求实数$k$的取值范围．

难度：难

解析收藏试题篮
7．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}{,}n{∈}N^{{*}}$，且$S_{n}{=}\dfrac{3}{2}a_{n}{-}\dfrac{1}{2}$，
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$若$b_{n}{=}\dfrac{2n}{a_{n{+}2}{-}a_{n{+}1}}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$，并证明$T_{n}{ < }\dfrac{3}{4}$

难度：难

解析收藏试题篮

8．已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得 $%20%5Csqrt%20%7Ba_%7Bm%7Da_%7Bn%7D%7D$ =4a₁，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bm%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bn%7D$ 的最小值为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B3%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B25%7D%7B6%7D$

D．不存在

难度：难

解析收藏试题篮

9．已知函数f_n（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （n+1）x²+x（n∈N^*），数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7B1%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7B2%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7Bn%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ．

难度：难

解析收藏试题篮
10．
已知$f(x)=\ln x,g(x)= \dfrac {1}{2}ax^{2}+3x+1$，$e$为自然对数$\ln x$的底数．
$($Ⅰ$)$若函数$h(x)=f(x)-g(x)$存在单调递减区间，求实数$a$的取值范围；
$($Ⅱ$)$当$0 < α < β$时，求证：$\alpha f(\alpha )+\beta f(\beta ) > (\alpha +\beta )f( \dfrac {\alpha +\beta }{2})$；
$($Ⅲ$)$求$f(x)-x$的最大值，并证明当$n > 2$，$n∈N^{*}$时，$\log _{2}e+\log _{3}e+\log _{4}e\cdots +\log _{n}e > \dfrac {3n^{2}-n-2}{2n(n+1)}$．

难度：难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷