知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x²-2x+4，数列{a_n}是公差为d的等差数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n为{a_n}的前n项和，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7Bn%7D%7D%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ．

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2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n．求满足不等式 $%20%5Cfrac%20%7BT_%7Bn%7D-2%7D%7B2n-1%7D$ ＞2010的n的最小值．

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3．
$7$月份，有一款新服装投入某市场销售$.7$月$1$日该款服装仅销售出$3$件，$7$月$2$日售出$6$件，$7$月$3$日售出$9$件，$7$月$4$日售出$12$件，尔后，每天售出的件数分别递增$3$件直到日销售量达到最大$($只有$1$天$)$后，每天销售的件数开始下降，分别递减$2$件，到$7$月$31$日刚好售出$3$件．
$(1)$问$7$月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？
$(2)$按规律，当该商场销售此服装达到$200$件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于$20$件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由．

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4．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$满足：$S_{n}=t(S_{n}-a_{n}+1)(t$为常数，且$t\neq 0$，$t\neq 1)$．
$(1)$求$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$设$b_{n}=a_{n}^{2}+S_{n}a_{n}$，若数列$\{b_{n}\}$为等比数列，求$t$的值；
$(3)$在满足条件$(2)$的情形下，设$c_{n}=4a_{n}+1$，数列$\{c_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，若不等式$ \dfrac {12k}{4+n-T_{n}}\geqslant 2n-7$对任意的$n∈N^{*}$恒成立，求实数$k$的取值范围．

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5．函数f（x）=lnx，g（x）=x²．
（1）求函数h（x）=f（x）-x+1的最大值；
（2）对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，是否存在实数m，使mg（x₂）-mg（x₁）＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，若存在求出m的范围，若不存在，说明理由；
（3）若正项数列{a_n}满足 $a_%7B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B%281%2Ba_%7Bn%7D%29a_%7Bn%7D%7D%7B2g%28a_%7Bn%7D%29%7D$ ，且数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断 $2e%5E%7BS_%7Bn%7D%7D$ 与2ⁿ+1的大小，并加以证明．

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6．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%2B3%7D$ （n∈N^*）
（1）求a₂，a₃；
（2）求证：{ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ }是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（3）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）• $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D$ •a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+ $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D$ 对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

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7．已知函数f_n（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （n+1）x²+x（n∈N^*），数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7B1%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7B2%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7Bn%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ．

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8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知 $S_%7Bn%7D%3D2a_%7Bn%7D-2%5E%7Bn%2B1%7D$ (n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设 $b_%7Bn%7D%3Dlog_%7B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7D%7D2$ ，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N^*且n≥2，都有 $B_%7B3n%7D-B_%7Bn%7D%3E%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7B20%7D$ 成立，求m的最大值；
(3)令 $c_%7Bn%7D%3D%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7Dlog_%7B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7D%7D2$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N^*且n≥2时， $T_%7B2n%7D%3C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．

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9．已知在等差数列{a_n}中，a₃=4前7项和等于35，数列{b_n}中，点(b_n，s_n)在直线x+2y-2=0上，其中s_n是数列{b_n}的前n项和(n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)求证：数列{b_n}是等比数列；
(3)设c_n=a_n•b_n•T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n并证明； $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ ≤T_n＜ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ ．

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点 $%28n%2C%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7Bn%7D%29$ 都在函数 $f%28x%29%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2x%7D$ 的图象上．
(Ⅰ)求a₁，a₂，a₃及数列{a_n}的通项公式a_n；
(Ⅱ)将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a₁)，(a₂，a₃)，(a₄，a₅，a₆)，(a₇，a₈，a₉，a₁₀)；(a₁₁)，(a₁₂，a₁₃)，(a₁₄，a₁₅，a₁₆)，(a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀)；(a₂₁)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
(Ⅲ)令 $g%28n%29%3D%281%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%29%5E%7Bn%7D$ (n∈N^*)，求证：2≤g(n)＜3．

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