知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．
已知数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{1}=1$，$na_{n+1}-(n+1)a_{n}=1(n∈N_{+})$
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$若$b_{n}= \dfrac {a_{n}+1}{2}\cdot ( \dfrac {8}{9})^{n}(n∈N_{+})$，求数列$\{b_{n}\}$的最大项．

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2．

若等差数列$\{a_{n}\}$的公差$d\neq 0$，前$n$项和为$S_{n}$，若$∀n∈N^{*}$，都有$S_{n}\leqslant S_{10}$，则$($　　$)$

A．$∀n∈N^{*}$，都有$a_{n} < a_{n-1}$

B．$a_{9}⋅a_{10} > 0$

C．$S_{2} > S_{17}$

D．$S_{19}\geqslant 0$

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3．
已知数列$\{a_{n}\}{中},a_{1}= \dfrac {1}{2},{点}(n,2a_{n+1}-a_{n})(n∈N^{*}){在直线}y=x{上}$，
$($Ⅰ$)$计算$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$的值；
$($Ⅱ$)$令$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}-1$，求证：数列$\{b_{n}\}$是等比数列；
$($Ⅲ$)$设$S_{n}$、$T_{n}$分别为数列$\{a_{n}\}$、$\{b_{n}\}$的前$n$项和，是否存在实数$λ$，使得数列$\{ \dfrac {S_{n}+λT_{n}}{n}\}$为等差数列？若存在，试求出$λ$的值；若不存在，请说明理由．

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4．
如果无穷数列$\{a_{n}\}$满足下列条件：$① \dfrac {a_{n}+a_{n+2}}{2}\leqslant a_{n+1}$；$②$存在实数$M$，使$a_{n}\leqslant M.$其中$n∈N^{*}$，那么我们称数列$\{a_{n}\}$为$Ω$数列．
$(1)$设数列$\{b_{n}\}$的通项为$b_{n}=5n-2^{n}$，且是$Ω$数列，求$M$的取值范围；
$(2)$设$\{c_{n}\}$是各项为正数的等比数列，$S_{n}$是其前项和，$c_{3}= \dfrac {1}{4}$，$S_{3}= \dfrac {7}{4}$证明：数列$\{S_{n}\}$是$Ω$数列；
$(3)$设数列$\{d_{n}\}$是各项均为正整数的$Ω$数列，求证：$d_{n}\leqslant d_{n+1}$．

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5．

已知函数$f(x)= \begin{cases} \overset{(3-a)x-3,x\leqslant 7}{a^{x-6},x > 7}\end{cases}$，若数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}=f(n)(n∈N^{﹡})$，且$\{a_{n}\}$是递增数列，则实数$a$的取值范围是$($　　$)$

A．$[ \dfrac {9}{4},3)$

B．$( \dfrac {9}{4},3)$

C．$(2,3)$

D．$(1,3)$

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6．

已知定义在$R$上的函数$f(x)$是奇函数且满足，$f( \dfrac {3}{2}-x)=f(x)$，$f(-2)=-3$，数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=-1$，且$S_{n}=2a_{n}+n$，$($其中$S_{n}$为$\{a_{n}\}$的前$n$项和$).$则$f(a_{5})+f(a_{6})=($　　$)$

A．$3$

B．$-2$

C．$-3$

D．$2$

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7．
设数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}+bn$，若数列$\{a_{n}\}$是单调递增数列，则实数$b$的取值范围为 ______ ．

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8．已知数列{a_n}的前n项和s_n=32n-n²+1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前多少项和最大．

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9．某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n年后该设备的盈利额为f（n）万元．
（Ⅰ）写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；
（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备．问用哪种方案处理较为合算？请说明理由．

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10．已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n(n∈N^*)，从C上的点Q_n(x_n，y_n)作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1(x_n+1，y_n+1)，设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n= $%20%5Cfrac%20%7By_%7Bn%2B1%7D%7D%7By_%7Bn%7D%7D$
(1)求数列{x_n}的通项公式；
(2)记c_n= $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Ba_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D$ ，数列{c_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与 $%20%5Cfrac%20%7B37%7D%7B32%7D$ 的大小(n∈N^*)；
(3)记d_n= $%20%5Cfrac%20%7B3%5Ctimes%205%5E%7Bn%7D%7D%7B2%5E%7Bn%2B2%7D%5Ctimes%20%28b_%7Bn%7D-1%29%7D$ ，数列{d_n}的前n项和为T_n，试证明：(2n-1)•d_n≤T_2n-1≤ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B3%7D$ ×[1- $%28%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B8%7D%29%5E%7B2n%2B1%7D$ ]．

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