知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（0，-1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．

难度：难

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2．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，它的焦距为2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+t=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x²+y²= $%20%5Cfrac%20%7B10%7D%7B9%7D$ 内，求t的取值范围．

难度：难

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3．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，左焦点到左顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M（1，1）的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M为弦AB中点，求直线AB的方程．

难度：难

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4．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，一个顶点在抛物线x²=4y的准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，M，N为椭圆上的两个不同的动点，直线OM，ON的斜率分别为k₁和k₂，若k₁k₂=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ，求△MON的面积．

难度：难

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5．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x²+y²-4x-2y+4=0相切．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．

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6．已知直线l与椭圆4x²+9y²=36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为（1，1），则直线l的方程为 ______ ．

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7．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B7%7D$ ，0），求k的值．

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8．已知双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF₂分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF₁|=2|PF₂|，且∠MF₂N=120°，则双曲线的离心率为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B3%7D$

B． $%20%5Csqrt%20%7B7%7D$

C． $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$

D． $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

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9．如图，已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ （a＞b＞0）的左右顶点分别是A（- $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，0），B（ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，0），离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．设点P（a，t）（t≠0），连接PA交椭圆于点C，坐标原点是O．
（Ⅰ）证明：OP⊥BC；
（Ⅱ）若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求|t|的最小值．

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10．已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ，圆C与离心率 $e%EF%BC%9E%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的椭圆 $E%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的其中一个公共点为A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究直线PF₁与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF₁的方程；若不能，请说明理由．

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