知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 的左焦点 $F_%7B1%7D%28-%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2C0%29$ ，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF₁相切于线段DF₁的中点F．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)已知两点Q(-2，0)，M(0，1)及椭圆G： $%20%5Cfrac%20%7B9x%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ ，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
(Ⅲ) 过坐标原点O的直线交椭圆W： $%20%5Cfrac%20%7B9x%5E%7B2%7D%7D%7B2a%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B4y%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ 于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．

难度：难

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2．已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：

-2

-4

(Ⅰ)求C₁、C₂的标准方程；
(Ⅱ)若过曲线C₁的右焦点F₂的任意一条直线与曲线C₁相交于A、B两点，试证明在x轴上存在一定点P，使得 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BPB%7D$ 的值是常数．

难度：难

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3．以F₁(0，-1)，F₂(0，1)为焦点的椭圆C过点 $P%28%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%2C1%29$ ．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点 $S%28-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%2C0%29$ 的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：难

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4．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1(a＞b＞c＞0，a²=b²+c²)的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ (a-c)．
(1)证明：椭圆上的点到点F₂的最短距离为a-c；
(2)求椭圆的离心率e的取值范围；
(3)设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长s的最大值．

难度：难

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5．已知与向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be%7D$ =(1， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ )平行的直线l₁过点A(0，-2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ )，椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1(a＞b＞0)的中心关于直线l₁的对称点在直线x= $%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bc%7D$ (c²=a²-b²)上，且直线l₁过椭圆C的焦点．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点B(-2，0)的直线l₂交椭圆C于M，N两点，若∠MON≠ $%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D$ ，且( $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ )•sin∠MON= $%20%5Cfrac%20%7B4%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，(O为坐标原点)，求直线l₁₂的方程．

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6．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 短轴的一个端点 $D%280%2C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，离心率 $e%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．过D作直线l与椭圆交于另一点M，与x轴交于点A(不同于原点O)，点M关于x轴的对称点为N，直线DN交x轴于点B．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%7C%5Ccdot%20%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%7C$ 的值．

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7．以知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 的两个焦点分别为F₁(-c，0)和F₂(c，0)(c＞0)，过点 $E%28%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bc%7D%2C0%29$ 的直线与椭圆相交于A，B两点，且F₁A∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|．
(1)求椭圆的离心率；
(2)求直线AB的斜率；
(3)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F₂B上有一点H(m，n)(m≠0)在△AF₁C的外接圆上，求 $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7Bm%7D$ 的值．

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8．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁(-c，0)、F₂(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足| $%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DQ%7D$ |=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPT%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BTF_%7B2%7D%7D$ =0，| $%20%5Coverrightarrow%20%7BTF_%7B2%7D%7D$ |≠0．
(Ⅰ)设x为点P的横坐标，证明| $%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DP%7D$ |=a+ $%20%5Cfrac%20%7Bc%7D%7Ba%7D$ x；
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程；
(Ⅲ)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=b²．若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

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9．已知双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D1$ 的准线过椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ 的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是(　　)

A．K∈[- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ]

B．K∈[-∞，- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ]∪[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，+∞]

C．K∈[- $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ]

D．K∈[-∞，- $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ]∪[ $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，+∞]

难度：难

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10．已知F₁、F₂分别是椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1(a＞b＞0 )的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足， $%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DF_%7B2%7D%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7BNF_%7B1%7D%7D%2C%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DF_%7B2%7D%7D%7C%3D2$ ．设A、B是上半椭圆上满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BNA%7D$ = $%5Clambda%20%20%5Coverrightarrow%20%7BNB%7D$ 的两点，其中λ∈[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B5%7D%2C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ]．
(1)求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
(2)设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围．

难度：难

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