知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知直线\(l\)的方程为\(y=x+2\)，点\(P\)是抛物线\(y^{2}=4x\)上到直线\(l\)距离最小的点，点\(A\)是抛物线上异于点\(P\)的点，直线\(AP\)与直线\(l\)交于点\(Q\)，过点\(Q\)与\(x\)轴平行的直线与抛物线\(y^{2}=4x\)交于点\(B\)．
\((\)Ⅰ\()\)求点\(P\)的坐标；
\((\)Ⅱ\()\)证明直线\(AB\)恒过定点，并求这个定点的坐标．

难度：难

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2．

过抛物线\(y=2x^{2}\)的焦点\(F\)作倾斜角为\(120^{\circ}\)的直线交抛物线于\(A\)、\(B\)两点，则弦\(|AB|\)的长为\((\)　　\()\)

A．\(2\)

B．\( \dfrac {2}{3}\)

C．\( \dfrac {1}{2}\)

D．\(1\)

难度：难

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3．
已知抛物线\(x^{2}=2py(p > 0)\)的焦点为\(F\)，直线\(x=4\)与\(x\)轴的交点为\(P\)，与抛物线的交点为\(Q\)，且\(|QF|= \dfrac {5}{4}|PQ|\)．
\((1)\)求抛物线的方程；
\((2)\)如图所示，过\(F\)的直线\(l\)与抛物线相交于\(A\)，\(D\)两点，与圆\(x^{2}+(y-1)^{2}=1\)相交于\(B\)，\(C\)两点\((A,B\)两点相邻\()\)，过\(A\)，\(D\)两点分别作我校的切线，两条切线相交于点\(M\)，求\(\triangle ABM\)与\(\triangle CDM\)的面积之积的最小值．

难度：难

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4．
如图，抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px\)的焦点为\(F\)，抛物线上一定点\(Q(1,2)\)．
\((1)\)求抛物线\(C\)的方程及准线\(l\)的方程；
\((2)\)过焦点\(F\)的直线\((\)不经过\(Q\)点\()\)与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，与准线\(l\)交于点\(M\)，记\(QA\)，\(QB\)，\(QM\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，\(k_{3}\)，问是否存在常数\(λ\)，使得\(k_{1}+k_{2}=λk_{3}\)成立？若存在\(λ\)，求出\(λ\)的值；若不存在，说明理由．

难度：难

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5．
如图，已知抛物线\(x^{2}=y\)，点\(A(- \dfrac {1}{2}, \dfrac {1}{4})\)，\(B( \dfrac {3}{2}, \dfrac {9}{4})\)，抛物线上的点\(P(x,y)(- \dfrac {1}{2} < x < \dfrac {3}{2})\)，过点\(B\)作直线\(AP\)的垂线，垂足为\(Q\)．
\((\)Ⅰ\()\)求直线\(AP\)斜率的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)求\(|PA|⋅|PQ|\)的最大值．

难度：难

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6．
已知抛物线\(y^{2}=2px(p > 0)\)，焦点到准线的距离为\(4\)，过点\(P(1,-1)\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点．
\((\)Ⅰ\()\)求抛物线的方程；
\((\)Ⅱ\()\)如果点\(P\)恰是线段\(AB\)的中点，求直线\(AB\)的方程．

难度：难

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7．
过抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点且倾斜角为\(30^{\circ}\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点，则\(|AB|=\) ______ ．

难度：难

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8．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知抛物线\(x^{2}=2py(p > 0)\)上的点\(M(m,1)\)到焦点\(F\)的距离为\(2\)，
\((1)\)求抛物线的方程；
\((2)\)如图，点\(E\)是抛物线上异于原点的点，抛物线在点\(E\)处的切线与\(x\)轴相交于点\(P\)，直线\(PF\)与抛物线相交于\(A\)，\(B\)两点，求\(\triangle EAB\)面积的最小值．

难度：难

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9．
点\(P\)是曲线\(y=x^{2}\)上任意一点，则点\(P\)到直线\(y=2x-2\)的最小距离为 ______ ．

难度：难

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10．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，过\(F\)且倾斜角为\(60^{\circ}\)的直线\(l\)与抛物线\(C\)在第一、四象限分别交于\(A\)、\(B\)两点，与它的准线交于点\(P\)，则\( \dfrac {|AB|}{|AP|}=\) ______ ．

难度：难

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