知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．

难度：难

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2．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的两个焦点为 $F_%7B1%7D%EF%BC%8CF_%7B2%7D%EF%BC%8C%7CF_%7B1%7DF_%7B2%7D%7C%3D2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于 $4%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

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3．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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4．设椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，左顶点到直线x+2y-2=0的距离为 $%20%5Cfrac%20%7B4%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；
（Ⅲ）在（2）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．

难度：难

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5．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（0，-1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．

难度：难

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6．椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|= $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ ，|PF₂|= $%20%5Cfrac%20%7B14%7D%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点M（-2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程．

难度：难

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7．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，它的焦距为2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+t=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x²+y²= $%20%5Cfrac%20%7B10%7D%7B9%7D$ 内，求t的取值范围．

难度：难

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8．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，左焦点到左顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M（1，1）的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M为弦AB中点，求直线AB的方程．

难度：难

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9． “a＞0，b＞0”是“方程ax²+by²=1表示椭圆”的（　　）

A．充要条件

B．充分非必要条件

C．必要非充分条件

D．既不充分也不必要条件

难度：难

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10．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ =0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．
（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；
（ⅱ）求斜率k的取值范围．

难度：难

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