已知\(A\)，\(B\)为双曲线\(E\)的左，右顶点，点\(M\)在\(E\)上，\(∆ABM\)为等腰三角形，且顶角为\(120^{\circ}\)，则\(E\)的离心率为\((\)   \()\)

已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左，右焦点分别为\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)，若双曲线上存在点\(P\)，使\(\dfrac{{\sin }\angle P{{F}_{1}}{{F}_{2}}}{SIN\angle P{{F}_{2}}{{F}_{1}}}=\dfrac{a}{c}\)，则该双曲线的离心率\(e\)范围为(    )

\((1)\)求这两曲线方程；

\((2)\)若\(P\)为这两曲线的一个交点，求\(\cos ∠F_{1}PF_{2}\)的值．

双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的实轴的两个端点为\(A\)、\(B\)，\(P\)为此双曲线上的动点，直线\(AP\)、\(BP\)均有斜率，分别为\({{k}_{1}}\)、\({{k}_{2}}.\)当表达式\({{k}_{1}}{{k}_{2}}-2\left( \ln \left| {{k}_{1}} \right|+\ln \left| {{k}_{2}} \right| \right)\) 取得最小值时，对应的双曲线的离心率为\((\)     \()\)

已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左右焦点分别为\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)，实轴的两个端点分别为\(A,B\)，\(P\)是双曲线右支上一点，满足直线\(PA\)与\(PB\)的斜率之积为\(24\)，且\(\left| OP \right|=\left| O{{F}_{2}} \right|\)，\(\left| P{{F}_{1}} \right|=\lambda \left| P{{F}_{2}} \right|\)，则\(\lambda \)的值为\((\)    \()\)

已知双曲线\( \dfrac{y^{2}}{a^{2}}- \dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(\)\(a\)\( > 0\)，\(b\)\( > 0)\)的一条渐近线方程为\(2\)\(x\)\(+\)\(y\)\(=0\)，且顶点到渐近线的距离为\( \dfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)．

\((1)\)求此双曲线的方程；

\((2)\)设\(P\)为双曲线上一点，\(A\)，\(B\)两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若\( \overset{→}{AP}= \overset{→}{PB} \)，求\(\triangle \)\(AOB\)的面积．

．平面直角坐标系\(xOy\)中，双曲线\(C\)\({\,\!}_{1}: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \)\(=\)\(1(\)\(a > \)\(0\)，\(b > \)\(0)\)的渐近线与抛物线\(C\)\({\,\!}_{2}:\)\(x\)\({\,\!}^{2}\)\(=\)\(2\)\(py\)\((\)\(p > \)\(0)\)交于点\(O\)，\(A\)，\(B\)．若\(\triangle \)\(OAB\)的垂心为\(C\)\({\,\!}_{2}\)的焦点，则\(C\)\({\,\!}_{1}\)的离心率为________ ．

如图所示，已知双曲线以长方形\(ABCD\)的顶点\(A\)，\(B\)为左、右焦点，且双曲线过\(C\)，\(D\)两顶点\(.\)若\(AB\)\(=4\)，\(BC\)\(=3\)，则此双曲线的标准方程为________．

已知抛物线\(y\)\({\,\!}^{2}=8\)\(x\)的焦点恰好是双曲线\(-\)\(=1\)的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ______．