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\((2)\)在线段\(BC\)上是否存在一点\(P\)，使\(AP\bot DE\)？证明你的结论．
如图，三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，\({{A}_{1}}C\bot \)底面\(ABC\)，\(\angle ACB={120}{}^\circ \)，\({{A}_{1}}C=AC=BC=2\)，\(D\)为\(AB\)中点．
\(\left( {1} \right)\)求证：\(B{{C}_{1}}/\!/\)平面\({{A}_{1}}CD;\)
\(\left( {2} \right)\)求直线\({{A}_{1}}D\)与平面\({{A}_{1}}{{C}_{1}}B\)所成角的正弦值．
\((\)Ⅰ\()\)证明：\({{A}_{1}}C\bot A{{B}_{1}}\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\(D\)是棱\(C{{C}_{1}}\)的中点，在棱\(AB\)上是否存在一点\(E\)，使\(DE/\!/\)平面\(A{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)？证明你的结论．
在正方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中，\(O\)是\(AC\)的中点，\(E\)是线段\({{D}_{1}}O\)上一点，且\({{D}_{1}}E=\lambda EO\)．
\((1)\)若\(\lambda =1\)，求异面直线\(DE\)与\(C{{D}_{1}}\)所成角的余弦值；
\((2)\)若平面\(CDE\bot \)平面\(C{{D}_{1}}O\)，求\(\lambda \)的值．
如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，\(ABCD\)为矩形，\(\Delta PAD\)为等腰直角三角形，\(\angle APD={{90}^{\circ }}\)，面\(PAD⊥\)面\(ABCD\)，且\(AB=1,AD=2\)，\(E,F\)分别为\(PC\)和\(BD\)的中点．
\((\)Ⅰ\()\)证明：\(EF/\!/\)面\(PAD\)；
\((\)Ⅱ\()\)求锐二面角\(B-PD-C\)的余弦值．
在平面四边形\(ABCD\)中，\(AB\)\(=\)\(BD\)\(=\)\(CD\)\(=1\)，\(AB\)\(⊥\)\(BD\)，\(CD\)\(⊥\)\(BD\)\(.\)将\(\triangle \)\(ABD\)沿\(BD\)折起，使得平面\(ABD\)\(⊥\)平面\(BCD\)，如图所示．
\((1)\)求证：\(AB\)\(⊥\)\(CD\)；\((2)\)若\(M\)为\(AD\)中点，求直线\(AD\)与平面\(MBC\)所成角的正弦值．
\((1)\)证明：\(PD=PB\)；
\((2)\)若\(PD⊥PB\)，\(∠DAB=60^{\circ}\)，\(PA=AD\)，求二面角\(B—PA—D\)的余弦值．
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