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          共50条信息

            • 1．

              已知动点\(P\)，\(Q\)都在曲线\(C:\begin{cases}x=2\cos t \\ y=2\sin t\end{cases} (t\)为参数\()\)上，对应参数分别为\(t=α\)与\(t=2α(0 < α < 2π)\)，\(M\)为\(PQ\)的中点．

              \((1)\)求曲线\(C\)的普通方程；

              \((2)\)将\(M\)到坐标原点的距离\(d\)表示为\(α\)的函数，并判断\(M\)的轨迹是否过坐标原点．

              难度：难
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            • 2．

              在直角坐标系\(xOy\)中，点\(P\left( 1,2 \right)\)在倾斜角为\(\alpha \)的直线\(l\)上，以坐标原点\(O\)为极点，以\(x\)轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)的方程为\(\rho =6{\sin }\theta \)．

              \((1)\)写出\(l\)的参数方程及\(C\)的直角坐标方程；

              \((2)\)设\(l\)与\(C\)相交于\(A,B\)两点，求\(\dfrac{1}{\left| PA \right|}+\dfrac{1}{\left| PB \right|}\)的最小值．

              难度：难
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            • 3． 在直角坐标系\(xOy\)中，过点\(P(1,2)\)的直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} x=1+ \dfrac {1}{2}t \\ y=2+ \dfrac { \sqrt {3}}{2}t\end{cases}(t\)为参数\().\)以原点\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ=4\sin θ\)．
              \((1)\)求直线\(l\)的普通方程和曲线\(C\)的直角坐标方程；
              \((2)\)若直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(M\)，\(N\)两点，求\( \dfrac {1}{|PM|}+ \dfrac {1}{|PN|}\)的值．
              难度：难
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            • 4．

              在平角直角坐标系\(xOy\)中，以\(O\)为极点，\(x\)轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线\(M\)的极坐标方程为\(ρ=4\cos θ \)，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=m+t\cos α \\ y=t\sin α\end{cases} (t\)为参数，\(0\leqslant α\leqslant π )\)，射线\(θ=φ,θ=φ+ \dfrac{π}{4},θ=φ- \dfrac{π}{4} \)与曲线\(M\)交于\(A\)，\(B\)，\(C\)三点\((\)异于\(O\)点\()\)．

              \((1)\)求证：\(|OB|+|OC|= \sqrt{2}|OA| \)；

              \((2)\)当\(φ= \dfrac{π}{12} \)时，直线\(l\)经过\(B\)，\(C\)两点，求\(m\)与\(α \)的值

              难度：难
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            • 5．
              选修\(4-4\)：坐标系与参数方程
              已知直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases}x=2+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y= \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}(t\)为参数\()\)，曲线\(C\)的参数方程为\( \begin{cases}x=4\cos θ \\ y=2 \sqrt {3}\sin θ\end{cases}(θ\)为参数\()\)，设直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点．
              \((1)\)求直线\(l\)与曲线\(C\)的普通方程；
              \((2)\)设\(P(2,0)\)，求\(|PA|⋅|PB|\)的值．
              难度：难
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            • 6． 在直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} \overset{x{=}t{+}1}{y{=}t{+}4} \\ \end{cases}\(t\)为参数\()\)，在以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{1{+}2\cos ^{2}\theta}}\)．
              \((1)\)写出直线\(l\)一般式方程与曲线\(C\)的直角坐标的标准方程；
              \((2)\)设曲线\(C\)上的点到直线\(l\)的距离为\(d\)，求\(d\)的取值范围．
              难度：难
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            • 7． 在直角坐标系\(xOy\)中，以原点\(O\)为极点，以\(x\)轴非负半轴为极轴，与直角坐标系\(xOy\)取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线\(C\)参数方程为\( \begin{cases} x= \sqrt {3}\cos θ \\ y=\;\sin θ\end{cases}(θ\)为参数\()\)，直线\(l\)的极坐标方程为\(ρ\cos (θ- \dfrac {π}{4})=2 \sqrt {2}\)．
              \((1)\)写出曲线\(C\)的普通方程和直线\(l\)的直角坐标方程；
              \((2)\)求曲线\(C\)上的点到直线\(l\)的最大距离．
              难度：难
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            • 8．

              以直角坐标系\(xOy\)的原点为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系相同的长度单位\(.\)已知点\(N\)的极坐标为\((\sqrt{2},\dfrac{\pi }{4})\)，\(M\)是曲线\({{C}_{1}}:\rho =1\)上任意一点，点\(G\)满足\(\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\)，设点\(G\)的轨迹为曲线\({{C}_{2}}\)．

              \((1)\)求曲线\({{C}_{2}}\)的直角坐标方程；

              \((2)\)若过点\(P(2,0)\)的直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} x=2-\dfrac{1}{2}t \\ y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}t \\ \end{cases}(t\)为参数\()\)，且直线\(l\)与曲线\({{C}_{2}}\)交于\(A,B\)两点，求\(\dfrac{1}{|PA|}+\dfrac{1}{|PB|}\)的值．

              难度：难
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            • 9．

              以坐标原点为极点，以\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线\(C\)的极坐标方程\(\rho =\sqrt{2}\)，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2+t\cos \alpha \\ & y=2+t\sin \alpha \end{cases}\)\((t\)为参数\()\)．

              \((1)\)点\(P\)在曲线\(C\)上，\(Q\)在直线\(l\)上，若\(\alpha =\dfrac{3}{4}\pi \)，求线段\(\left| PQ \right|\)的最小值；

              \((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)有两个不同的交点，求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围。

              难度：难
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            • 10． 在平面直角坐标系中，已知直线\(l\)过点\(P(-1,2)\)，倾斜角\(α= \dfrac {π}{6}\)，再以原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ=3\)．
              \((\)Ⅰ\()\)写出直线\(l\)的参数方程和曲线\(C\)的直角坐标方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)与曲线\(C\)分别交于\(M\)、\(N\)两点，求\(|PM|⋅|PN|\)的值．
              难度：难
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