已知直线\(C\)\({\,\!}_{1}\)：\(\begin{cases}x=1+tcoaα, \\ y=t\sin α\end{cases} \)\((t\)为参数\()\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)：\(\begin{cases}x=\cos θ, \\ y=\sin θ\end{cases} \)\((θ\)为参数\()\)．

\((1)\)当\(α=\dfrac{\pi }{3}\)时，求\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的直角坐标方程，以及\(C_{1}\)与\(C_{2}\)交点的极坐标\((\rho \geqslant 0,\ \theta \in [0,\ 2\pi )\)；

\((2)\)过坐标原点\(O\)作\(C_{1}\)的垂线，垂足为\(A\)，\(P\)为\(OA\)中点，当\(α\)变化时，求\(P\)点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

\((\)Ⅱ\()\)极坐标系中两点\(A(ρ\)\({\,\!}_{1}\)，\(θ\)\({\,\!}_{0}\)\()\)，\(B\)\(\left( \left. ρ_{2},θ_{0}+ \dfrac{π}{2} \right. \right)\)都在曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)上，求\( \dfrac{1}{ρ\rlap{_{1}}{^{2}}}\)\(+\)\( \dfrac{1}{ρ\rlap{_{2}}{^{2}}}\)的值．

选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

  在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2\cos \alpha \\ & y=2+2\sin \alpha \\ \end{cases}(\alpha \)为参数\()\)，\(M\)为\({{C}_{1}}\)上的动点，\(P\)点满足\(\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}\)，点\(P\)的轨迹为曲线\({{C}_{2}}\)．

\((I)\)求\({{C}_{2}}\)的方程；

 \((II)\)在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线\(\theta =\dfrac{\pi }{3}\)与\({{C}_{1}}\)的异于极点的交点为\(A\)，与\({{C}_{2}}\)的异于极点的交点为\(B\)，求\(|AB|\)．

在直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases}x=t- \sqrt{3} \\ y=kt\end{cases} (t\)为参数\()\)，直线\(l_{2}\)的参数方程为\(\begin{cases}x= \sqrt{3}-m, \\ y= \dfrac{m}{3k},\end{cases} (m\)为参数\()\)，设\(l_{1}\)与\(l_{2}\)的交点为\(P\)，当\(k\)变化时，\(P\)的轨迹为曲线\(C_{1}\)．

\((\)Ⅰ\()\)写出\(C_{1}\)的普通方程及参数方程；

\((\)Ⅱ\()\)以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线\(C_{2}\)的极坐标方程为\(\rho \sin \left( \theta +\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4} \right)=4\sqrt{2}\)，\(Q\)为曲线\(C_{1}\)上的动点，求点\(Q\)到\(C_{2}\)的距离的最小值．

在矩形\(ABCD\)中，\(AB=1\)，\(AD=2\)，动点\(P\)在以点\(C\)为圆心且与\(BD\)相切的圆上\(.\)若\(\overrightarrow{AP}=\lambda +\overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}\)，则\(λ+μ\)的最大值为________．

\((1)\)当\(\theta =\dfrac{\pi }{3}\)时，求直线\(l\)的斜率；

\((2)\)若\(P(a,b)\)是圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)内部一点，\(l\)与圆\(O\)交于\(A\)、\(B\)两点，且\(|PA|\)，\(|OP|\)，\(|PB|\)成等比数列，求动点\(P\)的轨迹方程．

已知曲线\(C\)在直角坐标系\(xOy\)下的参数方程为\(\begin{cases} & x={1}+\sqrt{{3}}\cos \theta \\ & y=\sqrt{{3}}\sin \theta \\ \end{cases}(\theta \)为参数\()\)，以\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C\)的极坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)的极坐标方程是\(\rho \cos (\theta -\dfrac{\pi }{6})=3\sqrt{3}\)，射线\(OT\)：\(θ= \dfrac{π}{3}(ρ > 0) \)与曲线\(C\)交于\(A\)点，与直线\(l\)交于\(B\)点，求线段\(AB\)的长．