选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

在直角坐标系\(xOy\)中，半圆\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=1+\cos φ \\ y=\sin φ\end{cases} (φ \)为参数，\(0\leqslant φ\leqslant π )\)，以\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

\((1)\)求半圆\(C\)的极坐标方程；

\((2)\)直线的极坐标方程是\(ρ\left(\sin θ+ \sqrt{3}\cos θ\right)=5 \sqrt{3} \)，射线\(OM\)：\(θ= \dfrac{π}{3} \)与半圆\(C\)的交点为\(O\)、\(P\)，与直线的交点为\(Q\)，求线段\(PQ\)的长．

在直角坐标系\(xOy\)中，圆\(C\)的参数方程\(\begin{cases} & x=\cos \phi \\ & y=1+\sin \phi \end{cases}(\)其中\(φ\)为参数\().\)以\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases}x= \sqrt{3}\cos α \\ y=\sin α\end{cases}(α为参数) \)，以坐标原点为极点，以\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C_{2}\)的极坐标方程为\(ρ\sin (θ+ \dfrac{π}{4})=2 \sqrt{2} .\)设点\(P\)在\(C_{1}\)上，点\(Q\)在\(C_{2}\)上，则\(|PQ|\)的最小值是_______ 

I.在平面直角坐标系\(xOy \)中，曲线\({C}_{1} \)过点\(P\left(a,1\right) \)其参数方程为\(\begin{cases}x=a+ \sqrt{2}t \\ y=1+ \sqrt{2}t\end{cases} (t\)为参数，\(a∈R ).\)以点\(O\)为极点，\(X\)轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\({C}_{2} \)的极坐标方程为\(ρ{\cos }^{2}θ+4\cos θ-ρ=0 \)．

\((1)\)求曲线\({C}_{1} \)的普通方程和曲线\({C}_{2} \)的直角坐标方程；

\((2)\)已知曲线\({C}_{1} \)与曲线\({C}_{2} \)交于\(A\)，\(B\)两点，且\(\left|PA\right|=2\left|PB\right| \)求实数\(A\)的值．

\(II.\)已知函数\(f\left(x\right)=\left|2x-a\right|+\left|x-1\right|,a∈R \)．

\((1)\)若不等式\(f\left(x\right)\leqslant 2-\left|x-1\right| \)有解，求实数\(a\)的取值范围．

\((2)\)当\(a < 2 \)时，函数\(f\left(x\right) \)的最小值为\(3\)，求实数\(a\)的值．

在直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2{+}t, \\ & y=kt, \end{cases}(t\)为参数\()\)，直线\(l_{2}\)的参数方程为\(\begin{cases}x=-2+m \\ y= \dfrac{m}{k}\end{cases} (m\)为参数\().\)设\(l_{1}\)与\(l_{2}\)的交点为\(P\)，当\(k\)变化时，\(P\)的轨迹为曲线\(C\)．

\((1)\)写出\(C\)的普通方程；

\((2)\)以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，设\({{l}_{3}}:\rho \left( \cos \theta +\sin \theta \right)-\sqrt{2}=0\)，\(M\)为\(l_{3}\)与\(C\)的交点，求\(M\)的极径．