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          共50条信息

            • 1．

              若不等式\(\dfrac{1}{n{+}1}+\ \dfrac{1}{n{+}2} +\ \dfrac{1}{n{+}3} +…+\dfrac{1}{3n{+}1} > \dfrac{a}{24}\) 对一切正整数\(n\)都成立，求正整数\(a\)的最大值，并证明你的结论．

              难度：难
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            • 2．

              设数列\(\{{a}_{n} \}\)的前\(n\)项和为\({S}_{n} \)，并且满足\(2{S}_{n}={{a}_{n}}^{2}+n \)，\({a}_{n} > 0(n∈{N}_{+}) \)

              \(⑴\)猜想\(\{{a}_{n} \}\)的通项公式，并用加以证明；

              \(⑵\)设\(x > 0\)，\(y > 0\)，且\(x+y=1\)，证明：\(\sqrt{{a}_{n}x+1}+ \sqrt{{a}_{n}y+1}\leqslant \sqrt{2(n+2)} \)．

              难度：难
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            • 3．

              函数列\(\{f_{n}(x)\}\)满足\(f_{1}(x)= \dfrac{x}{ \sqrt{1+x^{2}}}(x > 0)\)，\(f_{n+1}(x)=f_{1}[f_{n}(x)]\)．

              \((1)\)求\(f\)\({\,\!}_{2}\)\((x)\)，\(f\)\({\,\!}_{3}\)\((x)\)；

              \((2)\)猜想\(f\)\({\,\!}_{n}\)\((x)\)的表达式，并证明．

              难度：难
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            • 4．

              如果命题\(P(n)\)满足：\(①P(n)\)对于\(n=2\)时成立\(;②\)若\(P(n)\)对于\(n=k(k\in {{N}^{*}})\)时成立，那么它对\(n=k+2\)也成立，则下列结论正确的是(    )

              A．\(P(n)\)对所有正整数\(n\)成立         
              B．\(P(n)\)对所有正偶数\(n\)成立
              C．\(P(n)\)对所有正奇数\(n\)成立         
              D．\(P(n)\)对所有大于\(1\)的正整数\(n\)成立
              难度：难
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            • 5． 若不等式\( \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+⋯+ \dfrac{1}{3n+1} > \dfrac{a}{24} \)对一切正整数 \(n\)都成立，
              \((1)\)猜想正整数 \(a\)的最大值，
              \((2)\)并用数学归纳法证明你的猜想．
              难度：难
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            • 6． 若\(f(n)=1+ \dfrac{1}{ \sqrt{1}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{2}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{3}}+…+ \dfrac{1}{ \sqrt{1}} \)，\((\)其中 \(n\)\( > 2\)，且 \(n\)\(∈N)\)，\(g(n)=2 \sqrt{n} \)，\((\)其中 \(n\)\( > 2\)，且 \(n\)\(∈N)\)，证明： \(f\)\(( \)\(n\)\() < \) \(g\)\(( \)\(n\)\().\)
              难度：难
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            • 7．

              \((1)\)已知\(a\)，\(b\)，\(c\)\(∈(0,1).\)求证：\((1-a)b,(1-b)c,(1-c)a\)不能同时大于\(\dfrac{1}{4}\)

              \((2)\)试用数学归纳法证明\(\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{(n+1)}^{2}}} > \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+2}\)．

              难度：难
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            • 8．

              已知函数\(f(x)=2- \dfrac{1}{x} \)，数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}=f(a_{n-1})(n\geqslant 2,nÎN^{*}).\)

                \((\)Ⅰ\()\)若\({a}_{1}= \dfrac{3}{5} \)，数列\(\{b_{n}\}\)满足\({b}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{n}-1} \)，求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等差数列；

                \((\)Ⅱ\()\)若\({a}_{1}= \dfrac{3}{5} \)，数列\(\{a_{n}\}\)中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由；

              \((\)Ⅲ\()\)若\(1 < a_{1} < 2\)，试用数学归纳法证明：\(1 < a_{n+1} < a_{n} < 2\)．

              难度：难
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            • 9． 试比较\((n+1)^{2}\)与\(3^{n}(n∈N^{*})\)的大小，并给出证明\((\)结合数学归纳法\()\)．
              难度：难
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            • 10．

              已知数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的通项\(a_{n}\)\(=\)\(n\)\({\,\!}^{2}+\)\(n\)，试问是否存在常数\(p\)，\(q\)，使等式\( \dfrac{1}{1+{a}_{1}}+ \dfrac{1}{2+{a}_{2}}+⋯+ \dfrac{1}{n+{a}_{n}}= \dfrac{p{n}^{2}+qn}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \)对一切自然数\(n\)都成立\(.\)若存在，求出\(p\)，\(q\)的值\(.\)并用数学归纳法证明，若不存在说明理由．

              难度：难
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