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          共50条信息

            • 1．

              试用数学归纳法证明\(\dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+...+ \dfrac{1}{(n+1{)}^{2}} > \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{n+2} \)．

              难度：难
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            • 2．

              用数学归纳法证明\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+⋯+ \dfrac{1}{{2}^{n}-1} < n\left(n∈{N}^{*},n > 1\right) \)时，从\(n=k\)到\(n=k+1\)左边要添加的项数是  \((\)    \()\)

              A．\(2^{k}+1\) 
              B．\(2^{k}\)
              C．\(2^{k}-1\) 
              D．\(2^{k-1}\)
              难度：难
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            • 3．

              求证：\((\)\(n\)\(+1)(\)\(n\)\(+2)·…·(\)\(n\)\(+\)\(n\)\()=2\)\({\,\!}^{n}\)\(·1·3·5·…·(2\)\(n\)\(-1)(\)\(n\)\(∈N^{*}).\)

              难度：难
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            • 4．

              某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

              \(①\cos ^{2}13^{\circ}+\cos ^{2}73^{\circ}-\cos 13^{\circ}\cos 73^{\circ}\)；

              \(②\cos ^{2}15^{\circ}+\cos ^{2}75^{\circ}-\cos 15^{\circ}\cos 75^{\circ}\)；

              \(③\cos ^{2}28^{\circ}+\cos ^{2}88^{\circ}-\cos 28^{\circ}\cos 88^{\circ}\)；

              \(④\cos ^{2}(-18^{\circ})+\cos ^{2}42^{\circ}-\cos (-18^{\circ})\cos 42^{\circ}\)；

              \(⑤\cos ^{2}(-25^{\circ})+\cos ^{2}35^{\circ}-\cos (-25^{\circ})\cos 35^{\circ}\)．

              \((1)\)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

              \((2)\)根据\((1)\)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

              难度：难
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            • 5．

              用数学归纳法证明： \(1^{2}+2^{2}+…+\)\(n\)\({\,\!}^{2}= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}(\)\(n\)\(∈N^{*}).\)

              难度：难
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            • 6．

              已知数列\(\{{{a}_{n}}\},{{a}_{1}}=3,{{a}_{n+1}}=\dfrac{3{{a}_{n}}-4}{{{a}_{n}}-1},(n\in {{N}^{*}})\)

              \((1)\)求\({{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}\)的值，并猜想\({{a}_{n}}\)的通项公式；

              \((2)\)用数学归纳法证明你的猜想．

              难度：难
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            • 7．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=a,{{a}_{n+1}}=\dfrac{1}{2-{{a}_{n}}}\left( n\in {{N}^{+}} \right)\)．

              \((1)\)求\({{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}\)；

              \((2)\)猜想数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式，并用数学归纳法证明．

              难度：难
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            • 8．

              数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，满足\(S_{n}=2n-a_{n}(n∈N*)\)

              \((1)\)计算\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，并猜想\(a_{n}\)的通项公式；

              \((2)\)用数学归纳法证明\((1)\)中的猜想．

              难度：难
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            • 9．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}=1-n{{a}_{n}}(n\in {{\mathbf{N}}^{*}})\)．

              \((1)\)      计算\({{a}_{1}}\)，\({{a}_{2}}\)，\({{a}_{3}}\)，\({{a}_{4}}\)；

              \((2)\)      猜想\({{a}_{n}}\)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

              难度：难
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            • 10．

              是否存在常数\(a,b\)，使等式对\( \dfrac{{1}^{2}}{1×3}+ \dfrac{{2}^{2}}{3×5}+…+ \dfrac{{n}^{2}}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}= \dfrac{a{n}^{2}+n}{bn+2} \)  对于一切\(n\in {{N}^{*}}\)都成立\(?\)若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明\(!(\)提示：可先令\(n=1\)，\(2\)探求出\(a\)，\(b\)的值再证明\()\)

              难度：难
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