知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

难度：难

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2．
在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{1+a_{n}}(n∈N_{+})$，
$(1)$计算$a_{2}$、$a_{3}$、$a_{4}$并由此猜想通项公式$a_{n}$；
$(2)$证明$(1)$中的猜想．

难度：难

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3．
是否存在$a$，$b$，$c$使等式$( \dfrac {1}{n})^{2}+( \dfrac {2}{n})^{2}+( \dfrac {3}{n})^{2}+…+( \dfrac {n}{n})^{2}= \dfrac {an^{2}+bn+c}{n}$对一切$n∈N^{*}$都成立若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．

难度：难

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4．
已知：在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=7$，$a_{n+1}= \dfrac {7a_{n}}{a_{n}+7}$，
$(1)$请写出这个数列的前$4$项，并猜想这个数列的通项公式．
$(2)$请证明你猜想的通项公式的正确性．

难度：难

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5．
数列$\{a_{n}\}$满足$S_{n}=2n-a_{n}(n∈N^{*})$
$(1)$计算$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$
$(2)$猜想$a_{n}$的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：难

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6．
已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n+1}+a_{n}= \sqrt {n+1}- \sqrt {n-1}$，$n∈N^{*}$．
$($Ⅰ$)$求$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$；
$($Ⅱ$)$猜想数列$\{a_{n}\}$的通项公式，并用数学归纳法证明．

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7．
利用数学归纳法证明：$ \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+…+ \dfrac{1}{3n} > \dfrac{5}{6}($$n$$\geqslant 2$，$n$$∈N_{+}).$

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8．已知函数f_n（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （n+1）x²+x（n∈N^*），数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7B1%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7B2%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7Bn%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ．

难度：难

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9．请用数学归纳法证明：1+3+6+…+ $%20%5Cfrac%20%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bn%28n%2B1%29%28n%2B2%29%7D%7B6%7D$ （n∈N^*）

难度：难

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10．已知f_n（x）=（1+2
x
）ⁿ，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x），求g（x）中含x²项的系数；
（2）若p_n是f_n（x）展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{a_n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
a1a2…an+1
≤pn．

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