知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知 $%281-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B3%7D%29%5E%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求证 $%281-%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bn%2B3%7D%29%5E%7Bn%7D%EF%BC%9C%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%5E%7Bm%7D$ ，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

难度：难

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2．
已知函数$f(x)=ax- \dfrac{b}{x}-2\ln x$，$f(1)=0$．

$(1)$若函数$f(x)$在其定义域内为单调函数，求实数$a$的取值范围？

$(2)$若函数$f(x)$的图像在$x=1$处的切线的斜率为$0$，且$a_{n+1}=f′\left( \left. \dfrac{1}{a_{n}+1} \right. \right)-na_{n}+1$，若$a_{1}\geqslant 3$，求证：$a_{n}\geqslant n+2$．

难度：难

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3．
用数学归纳法证明：$1+\dfrac{n}{2}\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}}\leqslant \dfrac{1}{2}+n,(n\in {{N}^{*}})$。

难度：难

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4．

观察下列等式

$1 > \dfrac{1}{2} $
$1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} > 1 $
$1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{7} > \dfrac{3}{2} $
$1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{15} > 2 $
$1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{31} > \dfrac{5}{2} $
$(1)$从上述不等式归纳出一个与正整数$n$有关的一般不等式；

$(2)$证明你归纳得到的不等式．

难度：难

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5．

用数学归纳法证明“$1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+…+ \dfrac{1}{{2}^{n}-1} < n(n∈N*,n > 1) ?$”由$n=k(k > 1)$不等式成立，推证$n=k+1$时，左边应增加的项数是( )

A．$2^{k-1}$

B． $2^{k}-1$

C．$2^{k}$

D．$2^{k}+1$

难度：难

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6．用数学归纳法证明：$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+⋯+ \dfrac{1}{{\left({2}^{n}-1\right)}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{n}-1}\left(n\geqslant 2\right) ( $$n$$∈N^{*})$时第一步需要证明

A．$1 < 2- \dfrac{1}{2-1} $

B．$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} $

C．$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} $

D．$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+ \dfrac{1}{{4}^{2}} < 2- \dfrac{1}{{2}^{2}-1} $

难度：难

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7．

用数学归纳法证明：$1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}+…+ \dfrac {1}{(2^{n}-1)^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{n}-1}(n\geqslant 2)(n∈N^{*})$时第一步需要证明$($　　$)$

A．$1 < 2- \dfrac {1}{2-1}$

B．$1+ \dfrac {1}{2^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{2}-1}$

C．$1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{2}-1}$

D．$1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}+ \dfrac {1}{4^{2}} < 2- \dfrac {1}{2^{2}-1}$