知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．
（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；
（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；
（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

语文特别优秀语文不特别优秀合计

数学特别优秀

数学不特别优秀

合计

参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
参考数据：

P（K²≥k₀） 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001

k₀ 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828

难度：难

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2．

如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为（　　）

B．1

C．2

D．3

难度：难

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3．

某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准$a$，用电量不超过$a$的部分按平价收费，超出$a$的部分按议价收费$.$为此，政府调查了$100$户居民的月平均用电量$($单位：度$)$，以$[160,180)$，$[180,200)$，$[200,220)$，$[220,240)$，$[240,260)$，$[260,280)$，$[280,300)$分组的频率分布直方图如图所示．

$($Ⅰ$)$根据频率分布直方图的数据，求直方图中$x$的值并估计该市每户居民月平均用电量$μ$的值；

$($Ⅱ$)$用频率估计概率，利用$($Ⅰ$)$的结果，假设该市每户居民月平均用电量$X$服从正态分布$N(μ,σ^{2})$

$(ⅰ)$估计该市居民月平均用电量介于$μ～240$度之间的概率；

$(ⅱ)$利用$(ⅰ)$的结论，从该市所有居民中随机抽取$3$户，记月平均用电量介于$μ～240$度之间的户数为$Y$，求$Y$的分布列及数学期望$E(Y)$．

难度：难

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4．

如图是一名篮球运动员在最近$5$场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这$5$场比赛中的得分的中位数为$12$，则该运动员这$5$场比赛得分的平均数不可能为$($　　$)$

A．$ \dfrac {68}{5}$

B．$ \dfrac {69}{5}$

C．$14$

D．$ \dfrac {71}{5}$

难度：难

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5．
$2017$年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为某所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要$2$万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要$5$万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市$100$所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到右面的柱状图：记$x$表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师数，$y$表示一所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用$($单位：万元$)$，$n$表示今年为该乡村中学招聘的教师数，为保障乡村孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘
$($Ⅰ$)$若$n=19$，求$y$与$x$的函数解析式；
$($Ⅱ$)$若要求“流失的教师数不大于$n$”的频率不小于$0.5$，求$n$的最小值；
$($Ⅲ$)$假设今年该市为这$100$所乡村中学的每一所都招聘了$19$个教师或$20$个教师，分别计算该市未来四年内为这$100$所乡村中学招聘教师所需费用的平均数，以此作为决策依据，今年该乡村中学应招聘$19$名还是$20$名教师？

难度：难

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6．
某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了$100$名学生进行调查$.$如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．
$($Ⅰ$)$根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数$ \overset{ .}{x}$和众数$m($同一组中的数据用该组区间的中点值作代表$)$；
$($Ⅱ$)$已知样本中玩电脑游戏时长在$[50,60]$的学生中，男生比女生多$1$人，现从中选$3$人进行回访，记选出的男生人数为$ξ$，求$ξ$的分布列与期望$E(ξ)$．

难度：难

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7．
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出$.$某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准$x($吨$)$，用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费$.$为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了 $100$ 位居民某年的月均用水量$($单位：吨$)$，将数据按照$[0,0.5)$，$[0.5,1)$，$…$，$[4,4.5]$分成$9$组，制成了如图所示的频率分布直方图．
$($Ⅰ$)$求直方图中 $a$ 的值；
$($Ⅱ$)$若该市政府希望使 $85\%$的居民每月的用水量不超过标准 $x($吨$)$，估计 $x$ 的值，并说明理由；
$($Ⅲ$)$已知平价收费标准为 $4$ 元$/$吨，议价收费标准为 $8$元$/$吨$.$当 $x=3$时，估计该市居民的月平均水费$.($同一组中的数据用该组区间的中点值代替$)$

难度：难

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8．
人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为$0-25db($分贝$)$，并规定测试值在区间$(0,5]$为非常优秀，测试值在区间$(5,10]$为优秀，某班$50$名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：
$($Ⅰ$)$现从听力等级为$(0,10]$的同学中任意抽取出$4$人，记听力非常优秀的同学人数$X$，求$X$的分布列与数学期望．
$($Ⅱ$)$在$($Ⅰ$)$中抽出的$4$人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为$1$，$2$，$3$，$4$，测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}($其中$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$为$1$，$2$，$3$，$4$的一个排列$)$，若$Y$为两次排序偏离程度的一种描述，$Y=|1-a_{1}|+|2-a_{2}|+|3-a_{3}|+|4-a_{4}|$，求$Y\leqslant 2$的概率．

难度：难

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9．
某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年$200$户居民每户的月均用电量$($单位：度$)$，将数据按照$[0,100)$，$[100,200)$，$[200,300)$，$[300,400)$，$[400,500)$，$[500,600)$，$[600,700)$，$[700,800)$，$[800,900]$分成$9$组，制成了如图所示的频率分布直方图．

$($Ⅰ$)$求直方图中$m$的值并估计居民月均用电量的中位数；
$($Ⅱ$)$现从第$8$组和第$9$组的居民中任选取$2$户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率．

难度：难

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10．
为了检验学习情况，某培训机构于近期举办一场竞赛活动，分别从甲、乙两班各抽取$10$名学员的成绩进行统计分析，其成绩的茎叶图如图所示$($单位：分$)$，假设成绩不低于$90$分者命名为“优秀学员”．
$(1)$分别求甲、乙两班学员成绩的平均分$($结果保留一位小数$)$；
$(2)$从甲班$4$名优秀学员中抽取两人，从乙班$2$名$80$分以下的学员中抽取一人，求三人平均分不低于$90$分的概率．

难度：难

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	语文特别优秀	语文不特别优秀	合计
数学特别优秀
数学不特别优秀
合计

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	…	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	…	6.635	7.879	10.828