知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且c＜a，已知
CB
•
BA
=-2，tanB=2
2
，b=3．
（1）求a和c的值；
（2）求sin（B-C）的值．

难度：中等

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2．（文）某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元．
（1）问第几年开始总收入超过总支出？
（2）若干年后，有两种处理方案：
方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入-支出）
方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线．问那种方案合算？

难度：中等

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3．已知函数f（x）=
x2-x+1
x-1
(x≥2)，g(x)=ax（a＞1，x≥2）．
①若∃x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，则实数m的取值范围为；
②若∀x₁∈[2，+∞），∃x₂∈[2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为．

难度：较难

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4．省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|
x
x2+1
-a|+2a+
2
3
，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，
1
2
]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=
x
x2+1
，x∈R，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

难度：较难

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5．针对酒后驾车经常造成的严重交通事故，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升、小于80毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车，含量大于（等于）80毫克/100毫升的行为属于醉酒驾车．经过测算一般情况下，成人饮用1杯啤酒后，血液中酒精浓度就可达到20mg/100ml，即构成饮酒驾驶的处罚条件．饮用2瓶啤酒或3两低度白酒后，血液酒精浓度可达到80mg/100ml，即构成醉酒驾驶处罚条件．
经过统计成人在饮用2瓶啤酒或3两低度白酒后血液中酒精浓度随时间变化的函数为f(x)=
a
3
x3-
5
2
ax2+6ax+b，0.5≤x≤3
k1
x
，3＜x≤9
k2e-
9
5
x，x≥9

现测得某人在饮酒后2小血液中酒精含量82，3小时含量68．（参考数据：e
9
5
≈
411
68
，e2.04≈
137
20
）
（1）求a，b，k₁，k₂；
（2）此人饮酒后血液中酒精浓度什么时候最大？最大值是多少？
（3）此人经过多少时间可以驾车？

难度：中等

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6．某水池装有编号为1，2，3，…，15的15 个进出口水管，有的只进水，有的只出水．已知所开的水管号与水池装满水所需的时间如下表：

水管号	1，2	2，3	3，4	4，5	5，6	6，7	7，8	8，9	9，10	10，11	11，12	12，13	13，14	14，15	15，1
时间（分）	2	4	8	16	32	64	128	255	510	1020	2040	4080	8160	16320	32640

若15 个水管一齐开，则灌满水池所需时间为分．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．

难度：较难

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