知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知命题p：实数m满足m²﹣7am+12a²＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程 $\text{[math]}$ 表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．

难度：中等

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2．设α：A={x|-1＜x＜1}，β：B={x|b-a＜x＜b+a}．
（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；
（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．

难度：中等

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3．已知全集U=R，非空集合A={x|
x-2
x-3a-1
＜0}，B={x|
x-a2-2
x-a
＜0}．
（Ⅰ）当a=
1
2
时，求（∁_UB）∩A；
（Ⅱ）条件p：x∈A，条件q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．已知条件p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0；条件q：实数x满足8＜2^x+1≤16．
（1）若a=1，且“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

难度：较易

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5．设集合M={x|y=log₂（x-2）}，P={x|y=
3-x
}，则“x∈M，或x∈P”是“x∈（M∩P）”的什么条件？

难度：中等

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6．（Ⅰ）写出圆（x-a）²+（y-b）²=r²经过原点的充要条件．（只写不证）
（Ⅱ）已知命题p：∃x₀∈R，x₀²+2x₀+2=0，写出命题p的否定￢p．

难度：较易

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7．已知O为坐标原点，A（0，1），B(3，4)，
OM
=t1
OA
+t2
AB
．
（1）求点M在第二象限或第三象限的充要条件；
（2）求证：当t₁=1时，不论t₂为何实数，A、B、M三点都共线．

难度：中等

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8．已知a为实数，函数f（x）=x²-2alnx．
（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）若a＞0，试证明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=
1
2
”．

难度：较难

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9．证明：方程x²+mx+m+3=0有两个不相等的实数解的充要条件是m＜-2或m＞6．

难度：较易

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10．已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，4），
OM
=t1•
OA
+t2•
OB
．
（1）求点M在第二象限或第三象限的充要条件；
（2）若t1=a2，求
OM
⊥
AB
且△ABM的面积为12时a的值．

难度：中等

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