知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．下列命题结论中错误的有．
①命题“若x=
π
6
，则sinx=
1
2
”的逆命题为真命题
②设a，b是实数，则a＜b是a²＜b²的充分而不必要条件
③命题“∃x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，都有x²+x+1＞0”
④函数f（x）=lnx+x-
3
2
在区间（1，2）上有且仅有一个零点．

难度：较难

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2．方程x²+bx+c=0有两个实数根的充要条件是．

难度：中等

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3．下列命题正确的是（写序号）
①命题“∃x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“∀x∈R，x²+1≤3x”：
②函数f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为“π”是“a=1”的必要不充分条件；
③x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x²+2x）_min≥（ax）_max在x∈[1，2]上恒成立；
④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．

难度：较难

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4．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+
x
x2+1
（x＞-2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）

难度：较难

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5．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，b=0，1，2，3，4，则下列结论正确的为（写出所有正确的编号）
①2013∈[3]；
②-1∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”；
⑤命题“整数a，b满足a∈[1]，b∈[3]，则a+b∈[4]”的原命题与逆命题都为真命题．

难度：较难

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6．直线y=x+b，b∈R与圆x²+y²+2x=0相切的充要条件是b∈ ．

难度：中等

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7．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空．）

难度：中等

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8．设a，b，c，d∈R，求关于x的方程x²+（a+bi）x+c+di=0有实数根的充要条件是．

难度：中等

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9． “λ≤2”是“数列a_n=n²-λn+1（n∈N⁺）为递增数列”的充要条件．（判断对错）

难度：较易

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10．设m∈R⁺，不等式
x2
m2
-4m²x²≤x²-2x-3对一切x≥
3
2
恒成立的充要条件是m满足．

难度：较易

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