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          共50条信息

            • 1．
              设函数\(f(x)=x^{2}-2x+a\ln x(a∈R)\)
              \((1)\)当\(a=2\)时，求函数\(f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；
              \((2)\)若函数\(f(x)\)存在两个极值点\(x_{1}\)，\(x_{2}(x_{1} < x_{2})\)
              \(①\)求实数\(a\)的范围；
              \(②\)证明：\( \dfrac {f(x_{1})}{x_{2}} > - \dfrac {3}{2}-\ln 2\)．
              难度：较易
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            • 2．
              已知函数\(f(x)=x\cos x+a\)，\(a∈R\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求曲线\(y=f(x)\)在点\(x= \dfrac {π}{2}\)处的切线的斜率；
              \((\)Ⅱ\()\)判断方程\(f{{'}}(x)=0(f{{'}}(x)\)为\(f(x)\)的导数\()\)在区间\((0,1)\)内的根的个数，说明理由；
              \((\)Ⅲ\()\)若函数\(F(x)=x\sin x+\cos x+ax\)在区间\((0,1)\)内有且只有一个极值点，求\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 3．
              已知函数\(f(x)=x^{2}-2x+a\ln x(a∈R)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)当\(a=2\)时，求函数\(f(x)\)在\((1,f(1))\)处的切线方程；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(a > 0\)时，若函数\(f(x)\)有两个极值点\(x_{1}\)，\(x_{2}(x_{1} < x_{2})\)，不等式\(f(x_{1})\geqslant mx_{2}\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 4．
              已知函数\(f(x)=xe^{x}-(x+1)^{2}\)
              \((\)Ⅰ\()\)当\(x∈[-1,2]\)时，求\(f(x)\)的最大值与最小值；
              \((\)Ⅱ\()\)如果函数\(g(x)=f(x)-ax+1\)有三个不同零点，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 5．
              已知函数\(f(x)=(ax-2)e^{x}\)在\(x=1\)处取得极值．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)求函数\(f(x)\)在\([m,m+1]\)上的最小值；
              \((\)Ⅲ\()\)求证：对任意\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[0,2]\)，都有\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant e\)．
              难度：较难
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            • 6．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {ex}{e^{x}}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)极值；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(y=ax+b\)是函数\(f(x)\)的切线，判断\(a-b\)是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在说明理由．
              \((\)Ⅲ\()\)求方程\(f[f(x)]=x\)的所有解．
              难度：较易
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            • 7．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {mx}{\ln x}\)，曲线\(y=f(x)\)在点\((e^{2},f(e^{2}))\)处的切线与直线\(2x+y=0\)垂直\((\)其中\(e\)为自然对数的底数\()\)．
              \((1)\)求\(f(x)\)的解析式及单调递减区间；
              \((2)\)是否存在常数\(k\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，\(f(x) > \dfrac {k}{\ln x}+2 \sqrt {x}\)恒成立，若存在，求出\(k\)的值；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 8．
              已知函数\(f(x)=a\ln x+x^{2}(a\)为实常数\()\)．
              \((1)\)当\(a=-4\)时，求函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最大值及相应的\(x\)值；
              \((2)\)当\(x∈[1,e]\)时，讨论方程\(f(x)=0\)根的个数．
              \((3)\)若\(a > 0\)，且对任意的\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[1,e]\)，都有\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant | \dfrac {1}{x_{1}}- \dfrac {1}{x_{2}}|\)，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 9．
              已知函数\(f(x)=\ln x\)，\(g(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}+ \dfrac {1}{2}x^{2}+mx+n\)，直线\(l\)与函数\(f(x)\)，\(g(x)\)的图象都相切于点\((1,0)\)．
              \((1)\)求直线\(l\)的方程及\(g(x)\)的解析式；
              \((2)\)若\(h(x)=f(x)-g′(x)(\)其中\(g′(x)\)是\(g(x)\)的导函数\()\)，求函数\(h(x)\)的极大值．
              难度：较易
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            • 10．
              已知函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)在\(x=- \dfrac {2}{3}\)与\(x=1\)时都取得极值．
              \((1)\)求\(a\)、\(b\)的值与函数\(f(x)\)的单调区间；
              \((2)\)若对\(x∈[-1,2]\)，不等式\(f(x) < c^{2}\)恒成立，求\(c\)的取值范围．
              难度：较难
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