知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（ⅰ）记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为等差数列；
（ⅱ）若数列{
an
n
}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a₁应满足的条件．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}中a₁=2，an+1=2-
1
an
，数列{b_n}中bn=
1
an-1
，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{
1
3
bn}的前n项和，求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（Ⅲ）设T_n是数列{ (
1
3
)n•bn }的前n项和，求证：Tn＜
3
4
．

难度：较难

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3．设数列{a_n}的前n项和为S_n且Sn2-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂
（2）求S_n与S_n-1（n≥2）的关系式，并证明数列{
1
Sn-1
}是等差数列．
（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，
（1）求证数列数列{
1
Sn
}是等差数列
（2）求a_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}、{b_n}满足：a_n+1=a_n+1，b_n+1=b_n+
1
2
an，c_n=an2-4b_n，n∈N^*：
（1）若a₁=1，b₁=0，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式：
（2）证明：数列{c_n}是等差数列：
（3）定义f_n（x）=x²+a_nx+b_n，证明：若存在K∈N^*，使得a_k、b_k为整数，且f_k（x）有两个整数零点，则必有无穷多个f_n（x）有两个整数零点：

难度：中等

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6．数列{a_n}满足a_n=6-
9
an-1
（n∈N^*，n≥2）．
（1）求证：数列{
1
an-3
}是等差数列；
（2）若a₁=6，求数列{|lga_n|}的前999项的和．

难度：中等

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7．已知各项不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=
1
2
a_n•a_n+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）设数列{b_n}满足：b_n=2an-2an+1，且
lim
n→∞
（b_kb_k+1+b_k+1b_k+2+…+b_nb_n+1）=
1
384
，求正整数k的值；
（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c_k}中，c₁=1，
ck+1
ck
=
k-m
ak+1
，求c₁+c₂+…+c_m．

难度：中等

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8．设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=2n²-30n．
（1）求a₁及a_n；
（2）判断这个数列是否是等差数列．

难度：较易

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9．已知数列{a_n}满足a1=6，an+1=4-
4
an
(n为正整数）．
（Ⅰ）求证：数列{
an+2
an-2
}为等差数列；
（Ⅱ）若bn=
an
(2n+1)2
，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a₃+a₅=-4．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₄=-1，且2a_n+1=a_n+a_n+2+k（n∈N^*，k∈R），
①证明数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
②求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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