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          共50条信息

            • 1．

              数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=(n^{2}+n-λ)a_{n}(n=1,2,…)\)，\(λ\)是常数．

              \((1)\)当\(a_{2}=-1\)时，求\(λ\)及\(a_{3}\)的值；

              \((2)\)是否存在实数\(λ\)使数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列？若存在，求出\(λ\)及数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；若不存在，请说明理由．

              难度：中等
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            • 2． 已知函数\(f(x)= \dfrac {3}{2}x+\ln (x-1)\)，设数列\(\{a_{n}\}\)同时满足下列两个条件：\(①a_{n} > 0(n∈N^{*})\)；\(②a_{n+1}=f′(a_{n}+1)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)试用\(a_{n}\)表示\(a_{n+1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)记\(b_{n}=a_{2n}(n∈N^{*})\)，若数列\(\{b_{n}\}\)是递减数列，求\(a_{1}\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 3． 已知数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{n+1}-a_{n}=2(b_{n+1}-b_{n})\)，\(n∈N^{*}\)．
              \((1)\)若\(b_{n}=3n+5\)，且\(a_{1}=1\)，求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(\{a_{n}\}\)的第\(n_{0}\)项是最大项，即\(a_{n\_{0}}\geqslant a_{n}(n∈N*)\)，求证：\(\{b_{n}\}\)的第\(n_{0}\)项是最大项；
              \((3)\)设\(a_{1}=3λ < 0\)，\(b_{n}=λ^{n}(n∈N^{*})\)，求\(λ\)的取值范围，使得对任意\(m\)，\(n∈N^{*}\)，\(a_{n}\neq 0\)，且\( \dfrac {a_{m}}{a_{n}}∈( \dfrac {1}{6},6)\)．
              难度：中等
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            • 4．

              设正项数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和为\({S}_{n} \)，且满足\({S}_{n}= \dfrac{1}{2}{{a}_{n}}^{2}+ \dfrac{n}{2}\left(n∈N*\right) \)．

              \((1)\)计算\({a}_{1}\;,\;{a}_{2\;},\;{a}_{3} \)的值，并猜想\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式；

              \((2)\)用数学归纳法证明\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式．

              难度：较易
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            • 5． 已知数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}{=}a_{n}{+}n^{2}{-}1(n{∈}N^{{*}})\)．
              \((1)\)求数列\(\{ a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)定义\(x{=[}x{]+ < }x{ > }\)，其中\({[}x{]}\)为实数\(x\)的整数部分，\({ < }x{ > }\)为\(x\)的小数部分，且\(0{\leqslant < }x{ > < }1\)，记\(c_{n}{= < }\dfrac{a_{n}a_{n{+}1}}{S_{n}}{ > }\)，求数列\(\{ c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 6． 已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{n}=2a_{n}-2\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设函数\(f(x)=( \dfrac {1}{2})^{x}\)，数列\(\{b_{n}\}\)满足条件\(b_{1}=2\)，\(f(b_{n+1})= \dfrac {1}{f(-3-b_{n})}\)，\((n∈N^{*})\)，若\(c_{n}= \dfrac {b_{n}}{a_{n}}\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：中等
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            • 7． 已知各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n} > 1\)且\(6S_{n}=(a_{n}+1)(a_{n}+2)\)，\(n∈N^{*}\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项的和为\(b_{n}=-a_{n}+19\)，求数列\(\{|b_{n}|\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 8．

              设\(S_{n}\)是数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和，已知\({a}_{1}=1,{a}_{n+1}=2{S}_{n}+1(n∈{N}^{∗}) \)

              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{ a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(\dfrac{b_{n}}{a_{n}}{=}3n{-}1\)，求数列\(\{ b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较难
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            • 9． 若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(a_{n}+2S_{n}S_{n-1}=0(n\geqslant 2)\)，\(a_{1}= \dfrac{1}{2}\)．
              \((1)\)求证：\(\left\{ \left. \dfrac{1}{S_{n}} \right. \right\}\)成等差数列；

              \((2)\)求数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的通项公式．

              难度：难
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            • 10．

              单调递增数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，且满足\(4{{S}_{n}}=a_{n}^{2}+4n\)．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；    
              \((2)\)令\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．
              难度：难
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