知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a1=
3
2
，a_n+1=3a_n-1（n∈N₊）．
（1）若数列{b_n}满足bn=an-
1
2
，求证：{b_n}是等比数列；
（2）若数列{c_n}满足c_n=log₃a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：Tn＞
n(n-1)
2
．

难度：中等

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2．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，
（1）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对任意n∈N^*都有
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+
1
a4-a3
+…+
1
an+1-an
＜1．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}中a₁=2，an+1=2-
1
an
，数列{b_n}中bn=
1
an-1
，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{
1
3
bn}的前n项和，求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（Ⅲ）设T_n是数列{ (
1
3
)n•bn }的前n项和，求证：Tn＜
3
4
．

难度：较难

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4．设函数f（x）=
1
1+px+qx2
（其中p²+q²≠0），且存在公差不为0的无穷等差数列{a_n}，使得函数在其定义域内还可以表示为f（x）=1+a₁x+a₂x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…
（1）求a₁，a₂的值（用p，q表示）；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）当n∈N^*且n≥2时，比较（a_n-1）^a_n与（a_n） an-1的大小．

难度：中等

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5．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=a，公比为q（q≠0且q≠1）．
（1）推导证明：S_n=
a(1-qn)
1-q
；
（2）等比数列{a_n}中，是否存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列？若存在，求出符合条件的等比数列公比q的值，若不存在，说明理由；
（3）本题中，若a=q=2，已知数列{na_n}的前n项和T_n，是否存在正整数n，使得T_n≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+1=2S_n+a₁，且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）证明
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜
3
2
对任意正整n成立．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ax+
a-1
x
+（1-2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n≥1）．

难度：较难

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8．已知数列{a_n+1}是等比数列，a₃=3，a₆=31，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，且nS_n+1-（n+1）S_n=
1
2
n（n+1）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=
bn
an+1
，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n≥m-
9
2n
对于n∈N^*恒成立，求实数m的最大值．

难度：较难

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9．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₄=20，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog
1
2
a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

难度：较难

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10．在数列{a_n}中，a₁=
5
3
，且3a_n+1=a_n+2．
（1）设b_n=a_n-1，证明：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公项；
（2）设cn=lo
g
(an-1)2
4
3
，数列{
1
cncn+2
}的前n项和为T_n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N^*，均有T_n＜
m
16
成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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