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          共50条信息

            • 1． 已知Sn为数列{an}的前n项和，且向量
              a
              =（-4，n），
              b
              =（Sn，n+3）垂直．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）数列{
              1
              (2an+1)n
              }前n项和为Tn，求证：Tn＜
              3
              4
              ．
              难度：中等
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            • 2． 在直角坐标系平面中，已知点P1（1，2），P2（2，22），P3（3，23），…，Pn（n，2n），其中n是正整数，对于平面上任意一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，An为An-1关于点Pn的对称点，则对任意偶数n，用n表示向量
              A0An
              的坐标为（　　）
              A．（n，
              4(2n-1)
              3
              ）
              B．（n，
              2n+2
              3
              ）
              C．（
              n
              2
              ，
              2(2n-1)
              3
              ）
              D．（
              n
              2
              ，
              2n+1
              3
              ）
              难度：较难
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            • 3． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，向量
              AB
              =（Sn，
              1
              4
              -an），其中n∈N*，
              CD
              =（1，-
              1
              2
              ），且满足
              AB
              ∥
              CD
              ．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1a4a7…a3n-2＞a78恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；
              （3）若数列对任意的n∈N*都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=2n-
              n
              2
              -1，求数列{bn}的通项公式．
              难度：较难
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            • 4． 等差数列{an}的各项均为正整数，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1=1，且b2S2=64，{ban}是公比为64的等比数列．
              （1）求{an}与{bn}；
              （2）证明：
              1
              S1
              +
              1
              S2
              +…+
              1
              Sn
              ＜
              3
              4
              ．
              难度：较难
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            • 5． 已知边长为2的等边△ABC，O为△ABC的重心．有
              OA1
              =
              1
              2
              （
              OA
              +
              OB
              ），
              OB1
              =
              1
              2
              （
              OB
              +
              OC
              ），
              OC1
              =
              1
              2
              （
              OC
              +
              OA
              ），由A1，B1，C1三点构成一个新的△A1B1C1，面积记为S1；
              OA2
              =
              1
              2
              （
              OA1
              +
              OB1
              ），
              OB2
              =
              1
              2
              （
              OB1
              +
              OC1
              ），
              OC2
              =
              1
              2
              （
              OC1
              +
              OA1
              ），再由A2，B2，C2三点构成一个新的△A2B2C2，面积记为S2；
              OA3
              =
              1
              2
              （
              OA2
              +
              OB2
              ），
              OB3
              =
              1
              2
              （
              OB2
              +
              OC2
              ），
              OC3
              =
              1
              2
              （
              OC2
              +
              OA2
              ），再由A3，B3，C3三点构成一个新的△A3B3C3，面积记为S3．按照上述规则依次作下去，作得第n个三角形为△AnBnCn，面积记为Sn．
              （1）求证：数列{Sn}为等比数列；
              （2）令Tn=-Snlog4
              Sn
              		3
              ，求S=T1+T2+T3+…+Tn的和值．
              难度：较难
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            • 6． 已知向量
              a
              =(sin
              ωx
              2
              ，
              1
              2
              )，
              b
              =(cos
              ωx
              2
              ，-
              		3
              2
              )，ω＞0，x≥0              ，函数f(x)=
              a
              •
              b
              的第n（n∈N*）个零点记作xn（从小到大依次计数），所有xn组成数列{xn}．
              （Ⅰ）求函数f（x）的值域；
              （Ⅱ）若ω=2，求数列{xn}的前100项和S100．
              难度：中等
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            • 7． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若
              OC
              =a2
              OA
              +a2011
              OB
              ，且满足条件
              AC
              =2
              CB
              ，则S2012=    ．
              难度：较难
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            • 8． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若
              OB
              =a1
              OA
              +a100
              OC
              ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S100=（　　）
              A．50
              B．51
              C．100
              D．101
              难度：较难
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            • 9． 设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
              i
              、
              j
              ，坐标平面上点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：
              ①
              OA1
              =4
              j
              且
              An-1A
              n              =
              i
              （n∈N*，n≥2）；
              ②
              OB1
              =
              i
              +
              1
              2
              j
              且
              Bn-1Bn
              =-
              1
              n(n+1)
              j
              (n∈N*，n≥2)              ．（其中O为坐标原点）
              （I）求向量
              OAn
              及向量
              OBn
              的坐标；
              （II）设an=
              OAn
              •
              OBn
              ，求an的通项公式并求an的最小值；
              （III）对于（Ⅱ）中的an，设数列bn=
              sin
              nπ
              2
              cos
              (n-1)π
              2
              (n+1)an-6n+3
              ，Sn为bn的前n项和，证明：对所有n∈N*都有Sn＜
              89
              48
              ．
              难度：较难
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            • 10． 在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中An（n，an），Bn（n，bn），Cn（n-1，0），满足向量
              AnAn+1
              与向量
              BnCn
              平行，并且点列{Bn}在斜率为6的同一直线上，n=1，2，3，…．
              （1）证明：数列{bn}是等差数列；
              （2）试用a1，b1与n表示an（n≥2）；
              （3）设a1=a，b1=-a，是否存在这样的实数a，使得在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项？若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；
              （4）若a1=b1=3，对于区间[0，1]上的任意λ，总存在不小于2的自然数k，当n≥k时，an≥（1-λ）（9n-6）恒成立，求k的最小值．
              难度：较难
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