知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设公差不为零的等差数列{a_n}的前5项的和为55，且a₂，
a6+a7
，a4-9成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设数列b_n=
4
(an-6)(an-4)
，求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜
1
2
．

难度：中等

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2．已知等差数列{a_n}的公差为-1，前n项和为S_n，且a₃+a₈+a₁₁=-4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n；
（Ⅱ）从数列{a_n}的前五项中抽取三项按原来顺序恰为等比数列{b_n}的前三项，记数列{a_nb_n}的前n项和为 T_n，若存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，总有S_n＜T_m+λ成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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3．等比数列{a_n}同时满足下列条件：a₁+a₆=33；a₃a₄=32．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）若4a₂，2a₃，a₄构成等差数列，求{a_n}的前6项和S₆．

难度：中等

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4．已知在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=2，且2a₁，a₃，3a₂成等差数列．
（Ⅰ）求等比数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•（
2
n+1
-λ），n=1，2，3，…，且数列{c_n}为单调递减数列，求λ的取值范围．

难度：中等

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5．单调递增的等差数列{a_n}，a₂=1，且a₂，a₃，a₆成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n} 的前n 项和为S_n，设b_n=
1
Sn+2
，求数列{b_n} 的前n 项和T_n．

难度：中等

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6．设数列{a_n}的首项a₁为常数，且an+1=3n-2an(n∈N+)．
（1）若a1≠
3
5
，证明：{an-
3n
5
}是等比数列；
（2）若a1=
3
2
，{a_n}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若{a_n}是递增数列，求a₁的取值范围．

难度：较难

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7．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N^*，公差d≠0，S₃=15，已知a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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8．已知{a_n}为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12
（1）求{a_n}通项公式；
（2）记{a_n}的前n项和为S_n，若a₁，a_k+1，S_k+3成等比数列，求正整数k的值．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b_n}是公比为q（q∈R，且q≠0，1）的等比数列．若函数f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），b₁=f（q-2），b₃=f（q）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}的前n项和为S_n，对∀n∈N₊，
c1
b1
+
c2
2b2
+…+
cn
nbn
=a_n+1均成立，求S_n．

难度：中等

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10．在等差数列{a_n}中，已知a₁=4，前n项和S_n=11，又a₁，a₇，a₁₀成等比数列．
（1）求等差数列{a_n}的公差d；
（2）求数列的项数n．

难度：中等

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