知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
a
=（
3
，-1），
b
=（sin2x，cos2x），函数f（x）=
a
•
b
．
（1）若f（x）=0且0＜x＜π，求x的值．
（2）求函数f（x）的单调增区间以及函数取得最大值时，向量
a
与
b
的夹角．

难度：中等

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2．已知向量
a
=(
3
，cosωx)，
b
=(sinωx，1)（ω＞0），函数f（x）=
a
•
b
，且最小正周期为4π．
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[
π
2
，π]，f(2α-
π
3
)=
6
5
，f(2β+
2π
3
)=-
24
13
，求sin（α+β）的值．

难度：中等

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3．已知点P是椭圆
x2
16
+
y2
8
=1（x≠0，y≠0）上的动点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上一点，且
F1M
•
MP
=0，则|
OM
|的取值范围是．

难度：较难

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4．已知向量
a
=（4，3），
b
=（sinα，cosα），且
a
∥
b
，那么tan2α= ．

难度：较难

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5．已知O为坐标原点，
OA
=(2cos2x，1)，
OB
=(1，
3
sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常数），若y=
OA
•
OB
且y=f（x）的最大值为2．
（1）求a的值
（2）求f（x）图象的对称轴方程．

难度：较难

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6．已知向量
m
=（
3
sin
x
4
，1），
n
=（cos
x
4
，cos²
x
4
）．记f（x）=
m
•
n

（1）求f（x）的值域和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=
1+
3
2
，试判断△ABC的形状．

难度：中等

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7．已知向量
a
=(cos
x
2
，sin
x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-cos
x
2
)，若函数f(x)=
a
•
b
-
1
2

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若f（a）=
3
2
10
，求sin2a的值．

难度：较难

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8．已知点M（1+cos2x，1），N（1，
3
sin2x）（x∈R），其中O为坐标原点．若f（x）=
OM
•
ON

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，求函数f（x）的最值，并求出取得最值时的x的取值．

难度：中等

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9．已知向量
m
=（cos
x
3
，
3
cos
x
3
），
n
=（sin
x
3
，cos
x
3
），函数f（x）=
m
•
n
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

难度：中等

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10．如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为基底．任作一个向量
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得
a
=x
i
+y
j
…①
我们把（x，y）叫做    ，记作
a
=（x，y）…②
其中x叫做
a
在x轴上的坐标，y叫做
a
在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标也为（x，y）．特别地，
i
=    ，
j
=    ，
0
=    ．
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作
OA
=
a
，则点A的位置由a唯一确定．
设
OA
=x
i
+y
j
，则向量
OA
的坐标（x，y）就是点A的坐标；反过来，点A是坐标（x，y）也是向量
OA
的坐标．因此，在平面直角坐标系中，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示．

难度：较易

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