知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•上海二模）已知正四面体A₁A₂A₃A₄，点A₅，A₆，A₇，A₈，A₉，A₁₀分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积
A1A2
•
AiAj
的不同数值的个数为．

难度：中等

解析收藏试题篮
2．（2015秋•广州校级期末）如图，A，B，C的坐标分别为（-
c
2
，0），（
c
2
，0），（m，n），G，O′，H分别为△ABC的重心，外心，垂心．
（1）写出重心G的坐标；
（2）求外心O′，垂心H的坐标；
（3）求证：G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．如图所示，A、B、D、E四点在同一直线上，△ABC是边长为2的正三角形，DEFG是边长为2的正方形，在静止状态时，B点在D点的左侧，且|
BD
|=1，让A点沿直线AB从左到右运动，当A点运动到E点时，运动结束．
（1）求在静止状态时，
BF
•
CE
的值；
（2）当A点运动时，求
BF
•
CE
的最小值．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．已知点G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，若
AP
=λ
AB
，
AQ
=μ
AC
．证明：
1
λ
+
1
μ
为常数．

难度：中等

解析收藏试题篮
5．（2015秋•松原期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧
DE
上变动（如图所示），若
AP
=λ
ED
+μ
AF
，其中λ，μ∈R．则2λ-μ的取值范围是．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，求证：λ₁+λ₂为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C₂于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
+1=0，若点S满足：
OS
=
OP
+
OQ
，证明：点S在椭圆C₂上．

难度：较难

解析收藏试题篮
7．（1）求证：对任何实数k，x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0恒过两定点，并求经过该两定点且面积最小的圆E的方程；
（2）若PA，PB为（1）中所求圆E的两条切线，A、B为切点，求
PA
•
PB
的最小值．

难度：较难

解析收藏试题篮
8．设点F是抛物L：y²=2px（p＞0）的焦点，P₁，P₂，…，P_n是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N^*）．
（1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P₁、P₂、P₃的坐标，时期满足|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|=6；
（2）当n≥3时，若
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
，求证：|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=np；
（3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPN
|=np，则
FP1
+
FP2
+…+
FPN
=
0
”开展了研究并发现其为假命题．
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；
2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：
3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．

难度：较难

解析收藏试题篮
9．设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使
OH
=
OA
+
OB
+
OC
．求证：
（Ⅰ）点H为△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一条直线上．

难度：中等

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷