知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•南通一模）如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O₁为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．
（1）按下列要求建立函数关系：
①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；
②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．

难度：中等

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2．已知在半径为8的圆O中，弦AB的长为8．
（1）求弦AB所对的圆心角α（0＜α＜π）的大小．
（2）求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S．

难度：中等

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3．如图，在中心角为60°，半径为1的扇形OAB的半径OB上任取一点M，作内接矩形MNPQ，设∠QOA=θ，矩形MNPQ的面积为S
（1）求S关于θ的函数解析式；
（2）求S的最大值；
（3）如果分别在OA，OB上任取一点C、D，使OC=OD，按如图方式作扇形的内接矩形CDEF，设该矩形的面积为S′，问S′的最大值与S的最大值，哪一个更大，请说明理由．

难度：中等

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4．如图，四边形ABCD是半径为1的半圆O的内接矩形，其中A、D在直径上，Q为弧CB的中点，设∠BOQ=θ，记f（θ）=
1
OA
+
1
AB
，求f（θ）的最小值．

难度：中等

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5．如图是一个弓形APB湖面景点的平面示意图．其所在圆O的半径为
2
（圆心O在弓形APB内），P点是AB弧的中点，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB．现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧AC，C到D是线段CD．设∠AOB=
π
2
，∠POD=α rad，观光路线总长为y km．
（1）求y关于α的函数的解析式，并指出该函数的定义域；
（2）求观光路线总长的最大值．

难度：中等

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6．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m，逆时针方向旋转α°，继续沿直线向前行进1m，再逆时针旋转α°，按此方法继续操作下去．
（1）按1：100的比例作图说明当α=60°时，操作几次赛车的位移为零；
（2）按此操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出两个．

难度：较易

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7．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，S_△ABC=12cm²，求阴影部分的面积．

难度：较易

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8．如图，在扇形AOB中，D点在半径OA上，DA=300，BD=500，∠ADB=120°，求扇形的半径．

难度：较易

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9．已知扇形的周长为20cm，面积为 9cm²，求扇形圆心角的弧度数．

难度：较易

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10．如图，在半径为40cm、圆心角为60°的扇形铝皮OPQ上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在OP上，点C在
PQ
上，点D在OQ上．
（1）设∠COP=θ，将边AB，BC表示成θ的关系式；
（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求出最大面积．

难度：中等

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