知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，在xOy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上．∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（1）若点B（-
3
5
，
4
5
），求tan（2θ+
π
4
）的值；
（2）若
OA
+
OB
=
OC
，四边形OACB的面积用S_四表示，求S_四+
OA
•
OC
的取值范围．

难度：中等

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2．如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cosθ，sinθ），B（cos2θ，sin2θ），C（cos3θ，sin3θ）（0＜θ≤
π
3
），分别设S_△OAC，S_△ABC的面积为S₁和S₂．
（1）用sinθ、cosθ表示S₁和S₂；
（2）求
S1
cosθ
+
S2
sinθ
的最大值及取最大值时θ的值．

难度：较易

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3．（1）已知cos（
π
6
-α）=
3
3
，求cos（
5π
6
+α）-sin²（α-
π
6
）的值．
（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为
5
5
，
7
2
10
．求tanα，tanβ的值．

难度：中等

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4．一个被绳子牵着的小球做圆周运动（如图）．它从初始位置P₀开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：
（Ⅰ）P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；
（Ⅱ）如果ω=
π
6
rad/s，l=2，|φ|＜
π
2
，当t=
3
2
s时，y首次达到最大值，求φ的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，试求小球到达x轴的正半轴所需的时间．

难度：较难

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5．（1）若sin（3π+θ）=
1
4
，求
cos(π+θ)
cosθ[cos(π+θ)-1]
+
cos(θ-2π)
cos(θ+2π)cos(π+θ)+cos(-θ)
的值；
（2）已知0＜x＜
π
2
，利用单位圆证明：sinx＜x＜tanx．

难度：较易

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6．角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=-

；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=-2．对于下列结论：
①P（-

，-

）；
②|PQ|²=

10+2

；
③cos∠POQ=-

；
④△POQ的面积为

，
其中正确结论的编号是（　　）

A．①②③④

B．②③④

C．①③④

D．①②④

难度：较难

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7．
动点在圆上运动，它与定点B（3,0）连线的中点的轨迹方程式（）
(A)(B)(C)(D)

难度：易

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8．
已知圆过点,且圆心在轴的正半轴上,直线被该圆所截得的弦长为,求圆的标准方程.

难度：易

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9．已知函数f（x）=2
3
sinxcosx-2sin²x．
（Ⅰ）若角α的终边与单位圆交于点P（
3
5
，
4
5
），求f（α）的值；
（Ⅱ）若x∈[-
π
6
，
π
3
]，求f（x）最小正周期和值域．

难度：中等

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10．如图，设P是单位圆和x轴正半轴的交点，M、N是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠POM=
π
3
，∠PON=α，α∈[0，π）
（1）求点M的坐标；
（2）设f（α）=
OM
•
ON
，求f（α）的取值范围．

难度：中等

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