铜仁市某工厂有\(25\)周岁以上\((\)含\(25\)周岁\()\)工人\(300\)名,\(25\)周岁以下工人\(200\)名\(.\)为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了\(100\)名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“\(25\)周岁以上\((\)含\(25\)周岁\()\)”和“\(25\)周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成\(5\)组:\([50,60)\),\([60,70)\),\([70,80)\),\([80,90)\),\([90,100]\)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
\((1)\)从样本中日平均生产件数不足\(60\)件的工人中随机抽取\(2\)人,求至少抽到一名“\(25\)周岁以下组”工人的概率;
\((2)\)规定日平均生产件数不少于\(80\)件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成\(2×2\)列联表,并判断是否有\(90\%\)的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
由频率分布直方图可知,在抽取的\(100\)名工人中,“\(25\)周岁以上组”中的生产能手有\(60×0.25=15(\)人\()\),“\(25\)周岁以下组”中的生产能手有\(40×0.375=15(\)人\()\),据此可得\(2×2\)列联表如下:
| 生产能手 | 非生产能手 | 合计 |
\(25\)周岁以上组 | \(15\) | \(45\) | \(60\) |
\(25\)周岁以下组 | \(15\) | \(25\) | \(40\) |
合计 | \(30\) | \(70\) | \(100\) |
所以得\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\).