知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． 2013年9月20日是第25个全国爱牙日．某区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．
（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？
（2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理．求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．
P（K²≥k₀） 0.010 0.005 0.001
k₀ 6.635 7.879 10.828
附：k2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．

难度：中等

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2．（2016•永州二模）某市气象部门对该市中心城区近4年春节期间（每年均统计春节假期的前7天）的空气污染指数进行了统计分析，且按是否燃放鞭炮分成两组，得到如图的茎叶图，根据国家最新标准，空气污染指数不超过100的表示没有雾霾，超过100的表示有雾霾．
（Ⅰ）若从茎叶图有雾霾的14天中随机抽取2天，用随机变量ξ表示被抽中且未燃放鞭炮的天数，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过茎叶图填写下面的2×2列联表，并判断有多大的把握可以认为燃放鞭炮与产生雾霾有关？
燃放未燃放合计
有雾霾
无雾霾
合计
附：独立性检验卡方统计量：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d为样本容量；
独立性检验临界值表：
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较易

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3． 2016年微信宣布：微信朋友圈除夕前后10天的所有广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到9位数．某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男性
等级喜欢一般不喜欢
频数 15 x 5
表2：女性
等级喜欢一般不喜欢
频数 15 3 y
（Ⅰ）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”；
男性女性总计
喜欢
非喜欢
总计
参考数据与公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.01
k₀ 2.706 3.841 6.635
临界值表：
（Ⅱ）若从样本中的女性中随机抽取3人，求恰有2人非喜欢的概率；
（Ⅲ）若以样本的频率估计概率，从参加调查问卷的人中随机抽取2名男性和1名女性，求其中非喜欢的人数X的分布列和数学期望．

难度：中等

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4．对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如图．
（1）根据图中数据，制作2×2列联表；
（2）若要采用分层抽样的方法从男生中共抽取5名候选人，再从5人中选两人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一人更爱好文娱，另一人更爱好体育的学生的概率；
（3）是否可以认为性别与是否爱好体育有关系？
参考数据：
P（K²≥k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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5．据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元．某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）
女性消费情况：
消费金额（0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000]
人数 5 10 15 47 x
男性消费情况：
消费金额（0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000]
人数 2 3 10 y 2
（Ⅰ）计算x，y的值；在抽出的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；
女士男士总计
网购达人
非网购达人
总计
（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”
附：
P（k²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
（k²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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6．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，判断该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间在犯错误概率不超过的前提下有关系．
超重不超重总计
偏高 1 1 5
不偏高 3 12 15
总计 7 12 20
附：独立性检验临界值表
P（K²≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
k²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．

难度：中等

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7．某中学共2200名学生中有男生1200名，按男女性别用分层抽样的方法抽出110名学生，询问是否爱好某项运动．已知男生中有40名爱好该项运动，女生中有30名不爱好该项运动．
（1）完成如下的列联表：
男女总计
爱好 40
不爱好 30
总计
（2）通过计算说明，是否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”？

难度：中等

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8．某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：
有效无效合计
使用方案A组 96 120
使用方案B组 72
合计 32
（1）完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？

难度：中等

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9．为了调查经常参加体育锻炼能否预防感冒，经统计得到数据如下表：
感冒未感冒总计
经常锻炼 62 206 268
不经常锻炼 164 104 268
总计 226 310 536
请分析经常参加体育锻炼能否预防感冒．

难度：较易

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10．某保健药品推销商为推销其药品，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A疾病，经调查发现，在不使用该药品的418人中仅有18人患A疾病，请用所学知识分析该药品对防治A疾病是否有效？

难度：中等

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P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

P（K²≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

消费金额	（0，200）	[200，400）	[400，600）	[600，800）	[800，1000]
人数	5	10	15	47	x

P（k²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	有效	无效	合计
使用方案A组	96		120
使用方案B组	72
合计		32

	感冒	未感冒	总计
经常锻炼	62	206	268
不经常锻炼	164	104	268
总计	226	310	536

	燃放	未燃放	合计
有雾霾
无雾霾
合计

等级	喜欢	一般	不喜欢
频数	15	x	5

等级	喜欢	一般	不喜欢
频数	15	3	y

	男性	女性	总计
喜欢
非喜欢
总计