知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图：已知线段AB=4，动圆O₁与线段AB相切于点C，且AC-BC=2
2
，过点A，B分别作⊙O₁的切线，两切线相交于点P，且P、O₁均在AB的同侧．
（Ⅰ）建立适当坐标系，当O₁位置变化时，求动点P的轨迹E方程；
（Ⅱ）过点B作直线交曲线E于点M、N，求△AMN面积的最小值．

难度：中等

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2．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）若定点P（1，1）分弦AB为
AP
PB
=
1
2
，求此时直线l的方程．

难度：较难

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3．已知点Q（x，y）位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（1）求动点Q（x，y）的坐标之间满足的关系式，并化简且指出横坐标x的范围；
（2）设（1）中的关系式表示的曲线为C，若直线l过点M（1，0）且交曲线C于不同的两点A、B，
①求直线l的斜率的取值范围；
②若点P满足
FP
=
1
2
(
FA
+
FB
)，且
EP
.
AB
=0，其中点E的坐标为（x₀，0）试求x₀的取值范围．

难度：较难

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4．已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是
1
2
．
（1）记动点P的轨迹为曲线D．求曲线D的方程，并说明方程表示的曲线；
（2）若M是圆E：（x-2）²+（y-4）²=64上任意一点，过M作曲线D的切线，切点是N，求|MN|的取值范围．

难度：中等

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5．（1）若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，求实数k的取值范围．
（2）由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，求动点P的轨迹方程．

难度：中等

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6．已知A（8，0），B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足
AB
•
BP
=0，
BC
=
CP
，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，
QM
•
QN
=97，其中Q（-1，0），求直线l的方程．

难度：较难

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7．已知线段AB的端点B的坐标是（-1，0），端点A在圆（x-7）²+y²=16上运动，
（1）求线段AB中点M的轨迹方程；
（2）点C（2，a），若过点C且在两坐标轴上截距相等的直线与M轨迹相切，求a的值及切线方程．

难度：较难

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8．设F₁、F₂分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，
3
2
）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；
（3）若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时．求证：k_PM•k_PN是与点P位置无关的定值．

难度：较难

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9．已知动点P到定点F（0，1）的距离等于点P到定直线l：y=-1的距离．点Q（0，-1）．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点Q作轨迹C的切线，若切点A在第一象限，求切线m的方程；
（Ⅲ）过N（0，2）作倾斜角为60°的一条直线与C交于A、B两点，求AB弦长．

难度：中等

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10．过定点A（3，4）任作互相垂直的两条线l₁与l₂，且l₁与x轴交于M点，l₂与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程．

难度：中等

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