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          共50条信息

            • 1．
              已知双曲线\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的离心率为\(2\)，右顶点为\((1,0)\)．
              \((1)\)求双曲线\(C\)的方程；
              \((2)\)设直线\(y=-x+m\)与\(y\)轴交于点\(P\)，与双曲线\(C\)的左、右支分别交于点\(Q\)，\(R\)，且\( \dfrac {|PQ|}{|PR|}=2\)，求\(m\)的值．
              难度：较易
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            • 2．
              已知双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac {2 \sqrt {3}}{3}\)，过点\(A(0,-b)\)和点\(B(a,0)\)的直线与原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，求此双曲线的方程．
              难度：难
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            • 3．
              已知\(a∈R\)，双曲线\(Γ： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1\)
              \((1)\)若点\((2,1)\)在\(Γ\)上，求\(Γ\)的焦点坐标
              \((2)\)若\(a=1\)，直线\(y=kx+1\)与\(Γ\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且线段\(AB\)中点的横坐标为\(1\)，求实数\(k\)的值
              难度：较易
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            • 4．
              如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l_{1}\)：\(y=x\)与直线\(l_{2}\)：\(y=-x\)之间的阴影部分记为\(W\)，区域\(W\)中动点\(P(x,y)\)到\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的距离之积为\(1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求点\(P\)的轨迹\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)动直线\(l\)穿过区域\(W\)，分别交直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)于\(A\)，\(B\)两点，若直线\(l\)与轨迹\(C\)有且只有一个公共点，求证：\(\triangle OAB\)的面积恒为定值．
              难度：较易
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            • 5．
              中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\(F( \dfrac { \sqrt {6}}{2},0)\)，渐近线方程为\(y=± \sqrt {2}x\)．
              \(( I)\)求双曲线\(C\)的方程；
              \(( II)\)直线\(l\)：\(y=kx-1\)与双曲线\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点，试探究，是否存在以线段\(PQ\)为直径的圆过原点\(.\)若存在，求出\(k\)的值，若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 6．
              设双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{2}- \dfrac {y^{2}}{3}=1\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)为其左右两个焦点．
              \((1)\)设\(O\)为坐标原点，\(M\)为双曲线\(C\)右支上任意一点，求\( \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{F_{1}M}\)的取值范围；
              \((2)\)若动点\(P\)与双曲线\(C\)的两个焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距离之和为定值，且\(\cos ∠F_{1}PF_{2}\)的最小值为\(- \dfrac {1}{9}\)，求动点\(P\)的轨迹方程．
              难度：易
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            • 7．
              已知中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\((2,0)\)，实轴长\(2 \sqrt {3}\)．
              \((1)\)求双曲线的方程
              \((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+ \sqrt {2}\)与双曲线恒有两个不同的交点\(A\)，\(B\)，且\(∠AOB\)为锐角\((\)其中\(O\)为原点\()\)，求\(k\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 8．

              中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\(F\left( \dfrac{ \sqrt{6}}{2},0\right) \)，渐近线方程为\(y=\pm \sqrt{2}x\)．

              \((I)\)求双曲线\(C\)的方程；

              \((II)\)直线\(l:y=kx-1\)与双曲线\(C\)交于\(P,Q\)两点，试探究，是否存在以线段\(PQ\)为直径的圆过原点\(.\)若存在，求出\(k\)的值，若不存在，请说明理由．

              难度：难
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            • 9．

              已知双曲线\(C\)：\(x^{2}-y^{2}=1\)及直线\(l\)：\(y=kx+1\)．

                  \((1)\)若\(l\)与\(C\)有两个不同的交点，求实数\(k\)的取值范围；

                  \((2)\)若\(l\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，且\(AB\)中点的横坐标为\(\sqrt{{2}}\)，求线段\(AB\)的长．

              难度：较易
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            • 10． 已知直线\(l_{1}\)：\( \sqrt{3}x+ \sqrt{10}y-4=0\)为曲线\(C_{1}\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一条切线，直线\(l_{2}\)：\(x-2y-4=0\)为曲线\(C_{2}\)：\( \dfrac{x^{2}}{4a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{2b^{2}}=1\)的一条切线．
              \((1)\)求曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)的方程；

              \((2)\)作抛物线\(y\)\({\,\!}^{2}\)\(=2px(p > 0)\)交\(C\)\({\,\!}_{1}\)于\(A\)，\(B\)两点，交\(C\)\({\,\!}_{2}\)于\(C\)，\(D\)两点，当以\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四点为顶点的凸四边形面积为最大时，求实数\(p\)的值．

              难度：较难
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