知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知过定点（1，0）的直线与抛物线x²=y相交于不同的A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则（x₁-1）（x₂-1）= ．

难度：中等

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2．（2016•永州二模）如图AB是抛物线C：x²=4y过焦点F的弦（点A在第二象限），过点A的直线交抛物线于点E，交y轴于点D（D在F上方），且|AF|=|DF|，过点B作抛物线C的切线l
（1）求证：AE∥l；
（2）当以AE为直径的圆过点B时，求AB的直线方程．

难度：中等

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3．已知抛物线C：y²=4x
（1）抛物线C上有一动点P，当P到C的准线与到点Q（7，8）的距离之和最小时，求点P的坐标；
（2）是否存在直线l：y=kx+b与C交于A、B两个不同的点，使OA与OB（O为坐标原点）所在直线的倾斜角互补，如果存在，试确定k与b的关系，如果不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．已知直线l：x+y=b交抛物线C：y²=2px（b＞p＞0）于A、B两点，O为坐标原点，且
OA
•
OB
=8，C的焦点F到直线1的距离为
7
2
4
．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求△OAB外接圆的方程．

难度：中等

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5．过抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线上的动作E的两条切线，斜率分别k₁，k₂，切点为A，B．
（1）求k₁•k₂；
（2）C在AB上的射影H是否为定点，若是，请求出其坐标，若不是，请说明理由．

难度：中等

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6．已知点P，Q是抛物线y²=4x上两点，且
OP
•
OQ
=0（点O为坐标原点），则直线PQ过定点．

难度：中等

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7．抛物线C：y²=4x的准线与x轴交于M，过焦点F作倾斜角为60°的直线与C交于A，B两点，则tan∠AMB= ．

难度：中等

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8．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，若点M（-2，y）在抛物线上，且点M到该抛物线焦点的距离为3，
（1）求抛物线的标准方程及点M的坐标．
（2）过点C（-3，
1
2
）做直线l，使得直线l与抛物线相交于A，B两点．恰好C为弦AB的中点，求直线l的方程．

难度：中等

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9．已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．
（l）求动圆的圆心轨迹C的方程
（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，使以PQ为直径的圆过原点？

难度：较难

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10．已知抛物线C₁：y²=4x的焦点F也是椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点，C₁与C₂的公共弦长为
4
6
3
．
（Ⅰ）求椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）过椭圆C₂的右焦点F作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C₂相交于A，B两点，线段AB的中点为P，过点P做垂直于AB的直线交x轴于点D，试求
|DP|
|AB|
的取值范围．

难度：较难

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