知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知双曲线x²-
y2
3
=1．
（1）若椭圆C与该双曲线共焦点，且有一交点p（2，3），求椭圆C方程；
（2）设（1）中椭圆C的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆C的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
①若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
②设过A，F，N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点为（0，9）时，求这个圆的方程．

难度：较难

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2．已知双曲线的左右焦点F₁，F₂的坐标为（-4，0）与（4，0），离心率e=2．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知椭圆
x2
36
+
y2
20
=1，点P是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点，求|PF₁|•|PF₂|的值．

难度：中等

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3．已知点F(0，
p
2
)（p＞0，p是常数），且动点P到x轴的距离比到点F的距离小
p
2
．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）（i）已知点M（2，2），若曲线E上存在不同两点A、B满足
AM
+
BM
=
0
，求实数p的取值范围；
（ii）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．如图，已知椭圆C₁：
x2
8
+
y2
4
=1的焦点分别为F₁，F₂，双曲线C₂：
x2
4
-
y2
4
=1，设P
为双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，求：k₁•k₂的值；
（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）d的离心率为
2
2
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4（
2
+1）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．如图，已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=
25
4
，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C₁的方程及双曲线C₂的方程；
（2）在第一象限内取双曲线C₂上一点P，直线AP、PB分别交椭圆C₁于点M、点N，若△AMN与△PMN的面积相等．①求P点的坐标 ②求证：
MN
•
AB
=0．

难度：中等

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