知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．如图，O为坐标原点，椭圆C₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e₁；双曲线C₂：
x2
a2
-
y2
b2
=1的左、右焦点分别为F₃，F₄，离心率为e₂，已知e₁e₂=
3
2
，且|F₂F₄|=
3
-1．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）过F₁作C₁的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C₂交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

难度：较难

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2．已知椭圆E：
x2
m2
+
y2
n2
=1过点A（-1，0）和点B（1，0），其中一个焦点与抛物线y=
2
8
x²的焦点重合，C为E上异于顶点的任一点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若椭圆E所在平面上的两点M，G同时满足：①
.
GA
+
.
GB
+
.
GC
=
.
0
；②|
.
MA
|=|
.
MB
|=|
.
MC
|．试问直线MG的斜率是否为定值，若为定值求出该定值；若不为定值，请说明理由．

难度：较难

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3．已知与抛物线x²=4y有相同的焦点的椭圆E：
y
2

a
2

+
x
2

b
2

=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A（0，2）、B（0，-2），过（0，1）的直线与椭圆E交于M、N两点，与抛物线交于C、D两点，过C、D分别作抛物线的两切线l₁、l₂．
（1）求椭圆E的方程并证明l₁⊥l₂；
（2）求△AMN面积的最大值．

难度：较难

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4．设A，B分别是直线y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的两个动点，并且|
AB
|=
20
，动点P满足
OP
=
OA
+
OB
，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M，N是曲线C上的两个动点，并且
DM
=λ
DN
，求实数λ的取值范围；
（3）M，N是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E（0，y₀），求y₀的取值范围．

难度：较难

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5．已知椭圆K 1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F（c，0），抛物线K₂：x²=2py（p＞0）的焦点为G，椭圆K₁与抛物线K₂在第一象限的交点为M，若抛物线K₂在点M处的切线l经过椭圆K₁的右焦点，且与y轴交于点D．
（1）若点M（2，1），求c；
（2）求a、c、p的关系式；
（2）试问△MDG能否为正三角形？若能请求出椭圆的离心率，若不能请说明理由．

难度：较难

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6．（文科）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．

难度：较难

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7．已知圆G：x²+y²-2
2
x-2y=0经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为
2
3
π的直线l交椭圆于C、D两点，若点N（3，0）在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．

难度：中等

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8．已知双曲线x²-
y2
3
=1．
（1）若椭圆C与该双曲线共焦点，且有一交点p（2，3），求椭圆C方程；
（2）设（1）中椭圆C的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆C的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
①若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
②设过A，F，N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点为（0，9）时，求这个圆的方程．

难度：较难

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9．已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），且点M（1，e）和N(e，
3
2
)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）是否存在直线l同时与椭圆C₁和抛物线C2：y2=4x都相切？若存在，求出该直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．已知抛物线C：x²=y的焦点为F，过抛物线C上两个不同的点A，B的切线相交于点P．
（1）若P在直线y=-1上，则直线AB是否恒过某个定点M？若是，请求点M的坐标；若不是，请说明理由．
（2）（文科）若P在直线y=-1上，求
AF
•
BF
|
AF
|+|
BF
|
的最大值．
（理科）若P在直线y=-1上，求
cos＜
AF
，
BF
＞
|
AF
|
|
BF
|
+
|
BF
|
AF
+2
的取值范围．
（3）（理科）动点G满足
GA
+
GB
+λ
GP
=
0
，是否存在实数λ，使G在曲线C上？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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