知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点．
（1）（文）求证AE与PB是异面直线．
（理）求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
（2）求三棱锥A-EBC的体积．

难度：中等

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2．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F、M、N分别是A₁B₁、BC、C₁D₁、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）用向量方法求直线EF与MN的夹角；
（Ⅱ）求二面角N-EF-M的平面角的正切值．

难度：中等

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3．
如右下图,在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB= 4, AD =3, AA₁= 2。 E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.

(1) 求二面角C—DE—C₁的余弦值;

(2) 求直线EC₁与FD₁所成的余弦值.

难度：中等

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4．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC的边长为2，D为BC的中点，三棱柱的体积．
（1）求该三棱柱的侧面积；
（2）求异面直线AB与C₁D所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

难度：中等

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5．

      如图，直三棱柱ABC—A₁B₂C₁中，AC=BC，AA₁=AB，D为
BB₂的中点，E为AB₁上的一点，AE=3EB₂.
   （1）证明：DE为异面直线AB₁与 CD的公垂线；

   （2）设异面直线AB₁与CD的夹角为，求二面角A₂—AC₁—B₁的大小.

难度：中等

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6．

在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；

难度：中等

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形，且AD=
2
AB，AB=AP，PA⊥底面ABCD，E为AD的中点，F为PC的中点．
（1）求证：EF为AD及PC的公垂线（2）求直线BD与平面BEF所成的角．

难度：中等

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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形，且，AB=AP，PA⊥底面ABCD，E为AD的中点，F为PC的中点．
（1）求证：EF为AD及PC的公垂线（2）求直线BD与平面BEF所成的角．

难度：中等

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9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点．
（I）证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；
（II）设，求二面角A₁-AD-C₁的大小．

难度：中等

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10．如图，四面体A-BCD中，AD⊥BD，AD⊥CD，BD⊥CD，且AD=BD=CD=2，点E是线段AB的中点．
(1)求证：DE是异面直线AB与CD的公垂线；
(2)求异面直线AB与CD间的距离；
(3)求异面直线DE与BC所成的角．

难度：较易

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