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          共50条信息

            • 1．
              如图\(1\)，在高为\(2\)的梯形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(AB=2\)，\(CD=5\)，过\(A\)、\(B\)分别作\(AE⊥CD\)，\(BF⊥CD\)，垂足分别为\(E\)、\(F.\)已知\(DE=1\)，将梯形\(ABCD\)沿\(AE\)、\(BF\)同侧折起，使得\(AF⊥BD\)，\(DE/\!/CF\)，得空间几何体\(ADE-BCF\)，如图\(2\)．

              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(BE/\!/\)面\(ACD\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求三棱锥\(B-ACD\)的体积．
              难度：较易
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            • 2．
              如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，底面\(ABC\)为正三角形，侧棱\(AA_{1}⊥\)底面\(ABC.\)已知\(D\)是\(BC\)的中点，\(AB=AA_{1}=2\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(AB_{1}D⊥\)平面\(BB_{1}C_{1}C\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：\(A_{1}C/\!/\)平面\(AB_{1}D\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求三棱锥\(A_{1}-AB_{1}D\)的体积．
              难度：较易
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            • 3．
              如图，已知四边形\(ABCD\)是正方形，\(PD⊥\)平面\(ABCD\)，\(CD=PD=2EA\)，\(PD/\!/EA\)，\(F\)，\(G\)，\(H\)分别为\(PB\)，\(BE\)，\(PC\)的中点．
              \((I)\)求证：\(GH/\!/\)平面\(PDAE\)；
              \((II)\)求证：平面\(FGH⊥\)平面\(PCD\)．
              难度：较易
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            • 4．
              如图\(1\)，在等腰直角三角形\(ABC\)中，\(∠A=90^{\circ}\)，\(BC=6\)，\(D\)，\(E\)分别是\(AC\)，\(AB\)上的点，\(CD=BE= \sqrt {2}\)，\(O\)为\(BC\)的中点\(.\)将\(\triangle ADE\)沿\(DE\)折起，得到如图\(2\)所示的四棱椎\(A′-BCDE\)，其中\(A′O= \sqrt {3}\)．
              \((1)\)证明：\(A′O⊥\)平面\(BCDE\)；
              \((2)\)求二面角\(A′-CD-B\)的平面角的余弦值．
              难度：较易
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            • 5．
              如图，点\(P\)是菱形\(ABCD\)所在平面外一点，\(∠BAD=60^{\circ}\)，\(\triangle PCD\)是等边三角形，\(AB=2\)，\(PA=2 \sqrt {2}\)，\(M\)是\(PC\)的中点．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(PA/\!/\)平面\(BDM\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：平面\(PAC⊥\)平面\(BDM\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求直线\(BC\)与平面\(BDM\)的所成角的大小．
              难度：较易
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            • 6．
              如图，三棱锥\(P-ABC\)中，平面\(PAC⊥\)平面\(ABC\)，\(∠ABC= \dfrac {π}{2}\)，点\(D\)、\(E\)在线段\(AC\)上，且\(AD=DE=EC=2\)，\(PD=PC=4\)，点\(F\)在线段\(AB\)上，且\(EF/\!/BC\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：\(AB⊥\)平面\(PFE\)．
              \((\)Ⅱ\()\)若四棱锥\(P-DFBC\)的体积为\(7\)，求线段\(BC\)的长．
              难度：中等
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            • 7．
              已知四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是直角梯形，\(AB/\!/DC\)，\(∠ABC=45^{\circ}\)，\(DC=1\)，\(AB=2\)，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA=1\)．
              \((1)\)求证：\(AB/\!/\)平面\(PCD\)；
              \((2)\)求证：\(BC⊥\)平面\(PAC\)；
              \((3)\)若\(M\)是\(PC\)的中点，求三棱锥\(M-ACD\)的体积．
              难度：较易
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            • 8．

              如图，在四棱锥\(E{-}ABCD\)中，底面\(ABCD\)是边长为\(\sqrt{2}\)的正方形，平面\(AEC{⊥}\)平面\({CDE}{,}{∠}AEC{=}90^{{∘}}{,}F\)为\(DE\)中点，且\(DE{=}1\)．


              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(BE{/\!/}\)平面\(ACF\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：\(CD{⊥}DE\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求\(FC\)与平面\(ABCD\)所成角的正弦值．
              难度：较难
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            • 9．
              如图，在三棱台\({ABC}{-}A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(D{,}E\)分别是\({AB}{,}{AC}\)的中点，\({AB}{=}2A_{1}B_{1}{,}B_{1}E{⊥}\)平面\(ABC\)，且\({∠}{ACB}{=}90^{{∘}}\)．

              \((1)\)求证：\(B_{1}C{/\!/}\)平面\(A_{1}{DE}\)；
              \((2)\)若\({AC}{=}3{BC}{=}6{,}{\triangle }AB_{1}C\)为等边三角形，求四棱锥\(A_{1}{-}B_{1}C_{1}{ED}\)的体积．
              难度：中等
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            • 10．

              如图\(1\)，已知矩形\(ABCD\)中，点\(E\)是边\(BC\)上的点，\(AE\)与\(BD\)相交于点\(H\)，且\(BE=\sqrt{{5}}\)，\(AB={2}\sqrt{{5}}\)，\(BC={4}\sqrt{{5}}\)，现将\(\triangle ABD\)沿\(BD\)折起，如图\(2\)，点\(A\)的位置记为\(A′\)，此时\({A}{{{'}}}E=\sqrt{{17}}\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(BD⊥\)平面\(A′HE\)；

              \((\)Ⅱ\()\)求三棱锥\(D-A′EH\)的体积．

              难度：中等
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