知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且 $%20%5Cfrac%20%7BDG%7D%7BGH%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7BBR%7D%7BRH%7D$ ．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，
（I）求证：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P-DEF的内切球的半径．

难度：较易

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2．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O₁为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；
（1）计算球O的表面积和体积；
（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO₁和OO₁的中点，求
异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）

难度：较易

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3．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC， $AB%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，BC=2，AC=1．
（1）求证：AB⊥AD；
（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30^°，求四面体ABCD外接球的表面积．

难度：较易

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4．（1）某简单几何体的三视图中，正视图、侧视图、俯视图都是如图所示的直角边长为1的等腰直角三角形，求该几何体的表面积和体积；
（2）三棱锥O-ABC中，OB=AC=5，OA=BC= $%20%5Csqrt%20%7B41%7D$ ，AB=OC= $%20%5Csqrt%20%7B34%7D$ ，求该三棱锥的外接球体的表面积和体积．

难度：较易

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5．已知四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，则球O的表面积等于 ______ ．

难度：易

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6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

难度：较易

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7．正三棱锥的高为1，底面边长为2 $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ，内有一个球与它的四个面都相切，求：
（1）棱锥的表面积；
（2）内切球的表面积与体积．

难度：中等

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8．四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，AD=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，AB=2，PA=PD，∠APD= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：PA⊥PC；
（2）求四棱锥P-ABCD的外接球的体积．

难度：较易

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9．如图，从正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点中选出的4个点恰为一个正四面体的顶点．
（Ⅰ）若选出4个顶点包含点A，请在图中画出这个正四面体；
（Ⅱ）求棱长为a的正四面体外接球的半径．

难度：较易

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10．在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 的圆柱．
（1）求：圆柱表面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．

难度：较易

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