知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•包头二模）如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2
2
，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求平面DOB分割三棱柱AED-BFC所得上部分的体积．

难度：较易

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2．（2016•哈尔滨校级二模）棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，沿平面A₁ACC₁将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线A₁C的平面A₁CM与线段BB₁交于点M．
（Ⅰ）当M与B₁重合时，求证：MC⊥AC₁；
（Ⅱ）当平面A₁CM⊥平面A₁ACC₁时，求平面A₁CM分几何体所得两部分体积之比．

难度：中等

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3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁，
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥D-AA₁C₁的体积．

难度：较易

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4．如图，异面直线AB，CD互相垂直，CF是它们的公垂线段，且F为AB的中点，作DE
∥
.
CF，连接AC、BD，G为BD的中点，AB=AC=AE=BE=2．
（1）在平面ABE内是否存在一点H，使得AC∥GH？若存在，求出点H所在的位置，若不存在，请说明理由；
（2）求G-ACD的体积．

难度：较难

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5．如图，四边形ABCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=
2
．平面ASD⊥平面SDC．
（1）求证：SD⊥AC；
（2）求二面角S-AB-D的余弦值．

难度：中等

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6．如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，∠C₁CB=120°．
（1）探究直线BC与直线AB₁的位置关系，并说明理由；
（2）若AB₁=
6
2
AB，求二面角C-AB₁-C₁的余弦值．

难度：中等

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7．如图，设正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是AD和CC₁的中点．
（1）求证：A₁E⊥BF；
（2）求异面直线A₁E与CD₁所成角的余弦值．

难度：中等

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