知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•山西校级二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．
（1）求证：平面PCD⊥平面PBC；
（2）求证：PB∥平面AEC．

难度：中等

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2．（2016•海口校级模拟）如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形．侧棱长为5，平面ABCD⊥平面A₁ACC₁，AB=3
3
，∠BAD=60°，点E是△ABD的重心，且A₁E=4．
（1）求证：平面A₁DC₁∥平面AB₁C；
（2）求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

难度：中等

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3．（2016•威海二模）已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AD=DD₁=2，BC=DC=1，DC⊥BC，AD∥BC，E，F分别为CC₁，DD₁的中点．
（I）求证：BF⊥A₁B₁；
（Ⅱ）求证：面BEF∥面AD₁C₁．

难度：中等

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4．（2016•陕西模拟）如图，几何体ABCD-B₁C₁D₁中，正方形BB₁D₁D⊥平面ABCD，D₁D∥CC₁，平面D₁DCC₁与平面B₁BCC₁所成的二面角的余弦值为
2
3
，BC=3，CD=2CC₁=2，AD=
5
，AD∥BC，M为DD₁上任意一点．
（1）BC₁⊥∥平面ADD₁；
（2）当平面BC₁M⊥平面BCC₁B₁时，求DM的长．

难度：中等

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5．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁上，CE=2EC₁，AB=6，M，N分别为棱AB和AD的中点．
（1）求三棱锥M-BDE的体积；
（2）求证：平面C₁MN∥平面BDE．

难度：中等

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6．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除了A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=BE，AB=4，tan∠EAB=
1
4

（1）证明：平面ADE⊥平面ACD
（2）当AC=BC时，求二面角D-AE-B的余弦值．

难度：中等

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7．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接A₁C₁，A₁B，BC₁，AD₁，AC，CD₁．
（1）求证：A₁C₁∥平面ACD₁；
（2）求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（3）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求四面体ACB₁D₁的体积．

难度：较易

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8．如图，在三棱锥P-ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥PC；
（Ⅱ）证明：平面PAB∥平面FGH．

难度：中等

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9．（2015秋•朝阳区期末）如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M，N分别为棱DD₁，A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面CMN∥平面A₁DE；
（Ⅱ）求证：平面A₁DE⊥平面A₁AE．

难度：中等

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10．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D₁分别是BC，B₁C₁的中点．
（1）求证：AD⊥C₁D；
（2）求证：平面ADC₁∥平面A₁D₁B．

难度：中等

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