知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•鞍山一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB是直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）若V_C-BEF=1，求PA的长．

难度：中等

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2．（2016•蚌埠二模）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABFE是平行四边形，DF∥BC，BC=BF=2DF=2
2
，∠BAC=90°，AB=AC，点E在底面ABC的射影为BC的中点O．
（1）证明：ED⊥平面EBC；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

难度：中等

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3．（2016•潮州二模）如图，三棱锥O-ABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC=
2
，△ABC为
等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且OM=
1
3
MP，PA=PB．
（1）证明：AB⊥平面POC；
（2）求三棱锥A-PBC的体积．

难度：中等

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4．（2016•山西模拟）如图，AB为圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C为圆O上的一点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若AB=2，BC=
3
AC，PA=AB，点M为PC的中点，求三棱锥B-MOC的体积．

难度：中等

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5．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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6．（2016春•云南校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，BC=1，CC₁=2，BC₁=
3
．
（1）求证：BC₁⊥平面ABC；
（2）当二面角A-CC₁-B为
π
3
时，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

难度：中等

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7．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求三棱锥E-ABD的体积．

难度：中等

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8．（2015秋•福建校级期末）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA₁=2，∠A1AD=
π
3
，若O为AD的中点，且CD⊥A₁O．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D-A₁A-P的大小为
π
3
？若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．（2015秋•青岛校级期末）在如图所示的几何体中．EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：DM⊥平面EMC；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

难度：中等

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10．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E为C₁D₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BEC；
（2）求三棱锥C-BED的体积．

难度：中等

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