知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•山西三模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若∠APD=90°，四棱锥P-ABCD的体积为
2
3
3
，求三棱锥A-PBM的高．

难度：中等

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2．如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，AM=2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥P-MAC的体积．

难度：中等

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3．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

难度：较难

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4．（2016春•赣州校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（I）求证：平面ABB₁A⊥平面ABC；
（Ⅱ）在线段CC₁（不含端点）上，是否存在点E，便得二面角E-B₁D-B的余弦值为-
7
14
？若存在，求出
|CE|
|CC1|
的值，若不存在，说明理由．

难度：较难

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5．（2015秋•天水校级期末）（文科）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，D，E，F分别是AB，BC，CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若∠CA₁D=45°，求三棱锥F-AEC的体积．

难度：中等

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6．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥面PAB
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDC
（Ⅲ）求直线EC与平面PAC所成角的余弦值．

难度：中等

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7．（2015秋•桐城市校级期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．
（1）求证：平面PAD⊥平面PNB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积．

难度：中等

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8．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是CC₁的中点，且A₁B⊥A₁D．
（1）证明：平面A₁BD⊥平面BDE；
（2）求直线A₁D与直线BE所成角的余弦值．

难度：中等

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9．（2015秋•晋城期末）如图，四边形ABCD为正方形，四边形AEFD为梯形，FD∥EA，FD⊥平面ABCD，FD=2EA=2AD．
（Ⅰ）证明：平面EFC⊥平面DCE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．

难度：中等

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10．（2015秋•淄博校级期末）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=
1
2
CD=2，点M是线段EC的中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（3）求平面BDM与平面ABF所成的角（锐角）的余弦值．

难度：中等

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