知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．如果x是实数，且x＞-1，x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：（1+x）ⁿ＞1+nx．

难度：中等

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2．已知函数f₀（x）=x（sinx+cosx），设f_n（x）是f_n-1（x）的导数，n∈N^*．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）写出f_n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}满足a_n=
an+1-a-n-1
a-a-1
（n∈N^*），a≠-1，0，1，设b=a+
1
a
．
（1）求证：a_n+1=ba_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）；
（2）当n（n∈N^*）为奇数时，a_n=
n-1
2
i=0
(-1)iC

i
n-1
b^n-2i，猜想当n（n∈N^*）为偶数时，a_n关于b的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：较难

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4．设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S_n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T_n．
（1）求
T3
S3
，
T4
S4
，
T5
S5
，
T6
S6
的值；
（2）猜想
Tn
Sn
的表达式，并证明之．

难度：较难

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5．用数学归纳法证明

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

13

24

，由n=k到n=k+1左边需添加的项为（　　）

A．

1

2(k+1)

B．

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k+1

C．

1

2k+1

+

1

2k+2

+

1

k+1

D．

1

2k+1

+

1

2k+2

难度：中等

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6．如果命题P（n）对于n=k（k∈N^*）时成立，那么它对n=k+2也成立．若P（n）对于n=2时成立，则下列结论正确的是（　　）

A．P（n）对所有正整数n成立

B．P（n）对所有正偶数n成立

C．P（n）对所有正奇数n成立

D．P（n）对所有大于1的正整数n成立

难度：较易

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7．设数列{a_n}的前n和为S_n，满足S_n=a_n+1+n²-3，n∈N^*，且S₃=15．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

难度：较难

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8．用数学归纳法证明2+3+4+…+n=
(n-1)(n+2)
2
时，第一步取n= ．

难度：较易

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9．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，U_n=f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求U_l，U₂，U₃的值．
（2）求证：U_n+1＞U_n．

难度：中等

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10．（1）运用完全归纳推理证明f（x）=x⁶-x³+x²-x+1的值恒为正数．
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．

难度：较难

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