知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
x3，x≤a
x2，x＞a
，若a=
1
2
，则函数g（x）=f（x）-1有个零点，若存在示数b，使函数h（x）=f（x）-b有两个零点，则a的取值范围是．

难度：中等

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2．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0．给出下列命题：
①f（3）=0；
②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）

难度：较难

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3．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=
n-g(x)
m+2g(x)
是奇函数．
（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t-3）+f（t-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

难度：较难

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4．已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且函数f（x+1）=f（x）+x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x∈[-1，2]时的值域
（3）令g（x）=f（x）-
1
x
，判断函数g（x）是否存在零点，若存在零点求出所有零点，若不存在说明理由．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=
ex
x2+2x+b
的定义域是R，且有极值点．
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）求证：方程f（x）=
1
2
恰有一个实根．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=x³+
a2x2-ax+
1
4
（a≥0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：函数f（x）有且只有一个零点．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=x²+ax+b，不等式f（x）≤3的解集为[1，2]．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[m，m+1]（m∈R）上的最小值g（m）．

难度：中等

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8．设函数f（x）=1+
x
1
3
+x
x
2
3
+x2
（x∈[-b，-a]∪[a，b]，其中a＜b）的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．

难度：中等

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9．已知a＞0且a≠1，f（x）=ax-
1
ax

（1）判断函数f（x）是否有零点，若有求出零点；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性并用单调性定义证明．

难度：中等

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10．已知定义在R上的增函数f（x）满足f（x）＞0，且对于任意的m，n∈R都有f（m）•f（n）=f（m+n）．
（1）求f（0）的值；
（2）求证
f(m)
f(n)
=f（m-n）（m，n∈R）；
（3）若f（4）=4，且存在x∈[1，t]（t＞1）使得f（x²）≤
1
8
f（kx），求实数k的取值范围．

难度：中等

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